对偶思想及其在初等数学中的指导作用.pdfVIP

● 解题技巧与方法 耱 ● ·颡 · ● 姗偶飕趣 簇恭初等数学咿妫摘导作 ◎梁俊飞 梁 雪 “ (1．苏州市实验小学，江苏 苏州 215100；2．苏州科技学院数理学院，江苏 苏州 215009) 【摘要】本文通过对高等几何 中的对偶原则的分析探 人对于几何物体 的运算．直到费马和笛卡尔时代来临的时 究 ，提炼 了对偶思想的概念 ，然后讨论 了对偶思想对学科 的 候 ，他们希望把几何与代数结合起来 ，让它们之间可 以相互 发展、解题 以及对教师教学的指导作用． 转换 ，也就是要让它们成为我们所说的对偶元素 ，这时才真 【关键词】初等数学；对偶思想；对偶元素 正的将几何与代数实质性结合起来 ，促进 了双方 的共 同 【中图分类】O18；G642．0 发展． 【基金项 目】“本科教学工程”教学改革与研 究项 目 再举一例——牛顿和莱布尼兹创立 的微积分学．在微 (2013JIS,Z一10) 积分创立之前，其实 已经有很多数学家研究过 已知物体移 动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的 在现代数学教学 中，人们越来越重视数学思想的教学 速度和加速度 问题 (微分问题)，已知物体的速度求物体位 渗透，数学思想方法作为数学素质教育的内容已引起教育 移 的问题 (积分问题)，也取得了很大的进展 ，但 当时的数学 界的普遍关注和高度重视 ，它是联系知识与能力的纽带，对 家们只是把它们当成是两个不 同的问题在研究，没有发现 发展学生的数学能力，提高思维水平都具有十分重要 的作 它们之间的内在联系．牛顿和莱布尼兹对微积分的主要贡 用．本文将研究一种极具美感的一种数学思想，对偶思想． 献就是发现微分与积分其实是一对对偶元素，它们其实是 1．对偶思想概述 可 以相互转换 的，这个发现促使 了微积分的创立．如今的中 我们将从高等几何 中的对偶原则出发，逐步 阐述对偶 学 已经开始学习一些初级的微积分 了，如果教师从对偶 的 思想 的内涵． 观点、统一的观点来讲授微积分，而不是仅仅让同学们死记 点与直线是射影平面上 的基本元素，它们是射影平面 一 些公式可能会对学生掌握微积分思想产生更好 的效果． 中的一对对偶元素．在射影平面里设 由点、直线及其相互结 3．对偶思想对解题的指导作用 合的顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改 在解题 中，我们可 以利用对偶元素构造对偶式，再利用 为它的对偶元素，其结果形成另一个命题，这两个命题叫作 对偶元素之间的内在联系、两个对偶式之间的协 同作用 ，使 平面对偶命题．在射影平面里，如果一个命题成立 ，则它的 得 问题得到快速 、巧妙的解答 ；或者利用对偶元素之间内在 对偶命题也成立 ，这就是高等几何 中的对偶原则．例如： 等价性质，使得原问题转换为其对偶 问题，从而使 问题变得 命题 A：通过不 同两点必有一直线 ． 更容易解决．