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3． 多项式插值的龙格现象 考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设在区间上的函数为： ，考虑区间的一个等距划分，分点为：则拉格朗日插值多项式为： 其中是n次拉格朗日插值基函数。 要求：（1）选择不断增大的分点数目画出原函数及插值多项式函数在区间的图像，比较并分析实验结果。 解：算法为 function lagrangeinterp % graphs of different n clear all;clc x=-1:.01:1; y=1./(1+25.*x.^2); plot(x,y,-) hold on n=input(n=); x=-1:2/n:1; y=1./(1+25.*x.^2); u=-1:.01:1; v=lagrange(x,y,u); function v = lagrange(x,y,u) % algorithm of lagrange n = length(x); v = zeros(size(u)); for k = 1:n w = ones(size(u)); for j = [1:k-1 k+1:n] w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; end v = v + w*y(k); end plot(x,y,o,u,v,--) hold off 当选定为2等分时： 当选定为3等分时： 当选定为5等分时：当选定为10等分时： 当选定为15等分时： 由上述五个图形可得：在一定范围内，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高， 也更加靠近被逼近的函数，插值节点但并不是越多越好，当超过某一值后，就会在端点处出现龙格现象，而且节点越多，龙格现象越严重。 （2）h(x)=x/(1+x^2) 的龙格现象。 解：算法为 n=input(Input the value of n:); for i=0:n x(i+1)=-5+10*i/n; end f=((1+x.^2).^-1).*x; y=linspace(min(x),max(x),100); p=zeros(size(y)); for j=1:length(y) p(j)=lagrint(x,f,y(j)); end plot(y,p,r) xlabel(x); ylabel(f(x)); hold on z=-5:0.001:5; f=((1+z.^2).^-1).*z; plot(z,f,g) grid on; 当选定为2等分时： 当选定为3等分时： 当选定为5等分时： 当选定为10等分时： 当选定为15等分时： 随着n数的增多，龙格现象越来越明显，插值函数只是在一定的x范围内收敛，而在这个区间外是发散的。高次插值法不稳定，不宜采用。 （3） g(x)=artan x 的龙格现象 算法为 function demoFlag n=input(Input the value of n:); for i=0:n x(i+1)=-5+10*i/n; end f=atan(x); y=linspace(min(x),max(x),100); p=zeros(size(y)); for j=1:length(y) p(j)=lagrint(x,f,y(j)); end plot(y,p,r) xlabel(x); ylabel(f(x)); hold on z=-5:0.01:5; f=atan(z); plot(z,f,g) grid on; 当选定为2等分时： 当选定为3等分时： 当选定为5等分时： 当选定为10等分时： 当选定为15等分时： 随着n数的增多，龙格现象越来越明显，插值函数只是在一定的x范围内收敛，而在这个区间外是发散的。高次插值法不稳定，不宜采用。