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第 章 实例及数学模型 一般地说,为了定量地解决一个实际问题,从中抽象,归纳出来的数学表述就是数学模型.数学模型可以描述为,对现实世界的一个研究对象,为了一个特定目的,做出必须的简化假设,根据对象的内在规律,运用适当的数学工具,得到的一个数学表述.而数学建模包括模型的建立,求解,分析和检验的全过程.从实际问题到数学模型,又从数学模型的求解结果回到现实对象.数学建模面临的实际问题多种多样,建模的目的不同,分析的方法不同,采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同. 1 初等数学模型 实例1 商品市场占有率问题 有R和S两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争.每年R公司保持1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转移向R公司.当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额. 试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样?10年以后呢?是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年的市场分配成为稳定不变? 一 问题及分析模型建立 根据两家公司每年顾客转移的数据资料,形成下面的转移矩阵 又根据产品制造之初市场的初始分配数据可得如下向量 所以一年后,市场分配为 两年以后,市场分配为 设年后市场分配的份额为,则有 设数据为R公司和S公司的初始市场份额,则有 为了使以后每年的市场份额分配不变,根据顾客转移的规律,有 即 这是一个齐次方程组问题,如果方程组有解,则应该在非零解的集合中选取正数解作为市场份额稳定的初始份额. 由上面的分析得该问题的数学模型为求两个线性方程组,即 二 模型的求解 可以用[x1,x2]=solve(s1,s2,v1,v2)来求方程组的解. 也可以用命令rref(),化为上三角阵,再求解. 计算程序为 A=[1/4 1/3;3/4 2/3]; X0=[3/5;2/5]; X2=A^2*X0 X5=A^5*X0 X10=A^10*X0 运算结果为 X2 =0.3097 0.6903 X5 =0.3077 0.6923 X10 =0.3077 0.6923 为了求和作为R公司和S公司稳定的初始市场份额,用命令rref来求解齐次方程组 计算程序为 format rat; rref(A-eye(2)) 运算结果为 ans = 1 -4/9 0 0 由此得化简后的方程为 结合约束条件 可以得到 这就是使市场稳定的两家公司的初始份额. 2 微积分方法模型 实例 问题分析及模型建立 模型的求解 3 微分方程模型 本节以实例分析并建立微分方程模型,对模型作了解析解以及MATLAB数值解.而当函数以离散数据形式表示时,函数的数值微分就得借助差分来计算,差分是微分的近似.故本节还分析了简单的差分方程模型. 实例1 温度冷却 由物理学知道,物体冷却的速度与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比.今100℃的沸水注入杯里,放在室温为20℃的环境冷却,5min后测得水温为60℃.求水温与时间的函数关系. 一 问题分析及模型的建立 设比例系数为,根据题意可得微分方程 二 模型的求解 此为简单的一阶可分离变量微分方程,可得解析解 另外,还可用MATLAB程序求其解析解和数值解. 解析解的程序为 dsolve(Du+k*(u-20)=0,u(0)=100,t) %dsolve为求常微分方程的符号解函数 运算结果为 u =20+80*exp(-k*t) 再由,可得,即 数值解的程序为 f=inline(-0.2*log(2)*(u-20),t,u); [t,u]=ode45(f,[0, 100],100); %ode45为龙格库塔法求微分方程的数值解 plot(t,u) %绘制0到100分钟的温度随时间变化的图形 图 温度随时间变化 从图可看出温度随时间逐渐趋于20℃. 实例2 动物种群的相互竞争与相互依存的模型 在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.