生物控制论（周萍）第六章 状态变量法.pptVIP

第六章 状态变量法及其在生物医学系统中的应用 第十讲 控制系统的状态空间描述 一、基本概念 1、系统状态：控制系统状态是描述系统行为的最小一组变量，只要知道在t=t0时刻的这组变量和t=t0时刻的输入函数，便完全可以确定在任何t=t0时刻上的行为，这个系统的行为称为系统状态。 系统状态完整、确定地描述了系统的动态行为 2、状态变量：构成控制系统的变量 特点： 1)不唯一 2)在同一输入函数的作用下，所得的系统输出函数都是相同的。 选择思路： 系统状态应具备在已知初始状态和输入函数的条件下，可以完全确定系统未来的所有运动状态。 选择原则： 在系统状态方程中，任何一个状态变量均不包含输入函数的导数项。 3、状态向量： 若完全描述一个给定系统的状态行为需要n个状态变量，记为 x1(t)、 x2(t)、…、 xn(t)，将这些状态变量看成向量x(t)的分量，则向量x(t)称为系统的状态向量。 4、状态空间 以状态向量x(t)的分量 x1(t)、 x2(t)、…、 xn(t)为坐标轴构成的n维空间，任意的状态x(t)都可以用状态空间中的一个点来描述。 5、状态方程 对于一个连续控制系统，通过向量表示方法，可以将描述n阶系统动态特性的微分方程表示成一个一阶矩阵微分方程，若向量分量是选定的状态变量，则上述一阶矩阵微分方程称为连续系统的状态方程。 对于一个离散控制系统，通过向量表示方法，可以将描述n阶离散系统动态特性的差分方程表示成一个一阶矩阵差分方程，则上述一阶矩阵差分方程称为离散系统的状态方程。 二、线性连续系统的状态空间表达式 由系统微分方程列写状态方程及输出方程 输入函数不含导数项 输入函数含导数项 由系统微分方程列写状态方程及输出方程 输入函数不含导数项 设n阶线性定常连续系统的运动方程为： 选取系统状态变量为： 则（1）式可写成 一阶矩阵微分方程形式： 记： 则（4）式可写为： 根据系统状态变量的选取，其输出方程可写为：y=x1 (6) 或写成矩阵方程式形式为： 例：写出下面系统的状态方程及输出方程 矩阵微分方程形式：  （2）输入函数含导数项 设n阶线性定常连续系统的运动方程为： 经过拉氏变换，得到系统方块图 相应的系统状态方程为 相应的输出方程为 取 （3）多输入多输出 N阶多输入多输出线性定常连续系统的状态空间表达式的向量矩阵形式为 氨卡青霉素在体内运转的房室模型 微分方程形式的数学模型 写成矩阵形式 线性定常连续系统齐次状态方程的解 例：用矩阵指数法求解下面状态方程 所以齐次状态方程的解为 （2）拉氏变换法 例：用拉氏变换法求解下面状态方程 三 稳定性分析 状态空间表达式适用于： 多变量系统 时变系统 非线性系统 分析系统稳定性方法 李雅普诺夫稳定性理论 （1）基本概念 设系统的状态方程为 式中： x为n维向量； f(x,t)也是n维向量，其各元素是x和t的有界的、连续可微的单值函数。 假定在给定的初始条件下，式（1）的解为 1、平衡状态：在（1）式所描述的系统中，如果对所有的t,总存在着 f(xc,t)=0 （2） 则称xc为系统的平衡状态。 2、李雅普诺夫稳定性 如果对于任意选定的实数ε0，都存在另一实数δ( ε,t0)0,使得当||x(t0)-xc||= δ时，随着时间无限增加，恒有||x(t)-xc||= ε，则称系统平衡状态xc为稳定的。 式中||x(t)-xc||＝[(x1-x1c)2+ (x2-x2c)2+…+ (xn-xnc)2]1/2 称为欧几里得范数。 该定义的理解：若系统的初始状态包含在半径为δ的球域内，则由初始状态引起的系统响应，在t＝t0的所有时间内都包含在另一半径为ε的球内，则称系统的平衡状态xc为李雅普诺夫意义下的稳定。 实数δ通常与ε和t0有关。 如果δ与t0无关，则这种平衡状态称为一致稳定的平衡状态。 3、渐近稳定性：若系统的平衡状态xc是稳定的，并且当t趋向无穷时，则由初始状态引起的系统响应，x(t)趋近xc ，则系统的平衡状态称为渐近稳定。 4、不稳定性 无论实数δ选得多小，由初始状态引起的系统响应随时间的增长都要脱离球域S(ε) ，则此平衡状态称为不稳定的。 （2）李雅普诺夫稳定性判定第一方法（间接法） 设系统方程为 根据稳定性定义，若系统在平衡状态xc＝0是稳定的，那么它在任何初始状态x0下都必须满足 李雅普诺夫稳定性判定第一方法： 若系统的线性化方程中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则无论 若系数矩阵A中，有一个或一个以上的特征值具有正实部，则无论 若系数矩阵A中，有一个或一个以上的特征值为零，而其余特征值都具有负