微积分2课件 全套咯~·.ppt

§9.1 微分方程的基本概念 一、微分方程的定义 二、微分方程的解 §9.2 一阶微分方程 一、可分离变量方程 一、微分方程的定义 二、微分方程的解 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的函数方程, 称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 称为微分方程的阶. 定义9.1 例如， 实质: 联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 例1 著名的科学家伽利略在当年研究落体运动时发现， 则 即有方程 从而解得落体运动的规律: 例2 在没有人员 迁入或迁出的情况下, 于是有微分方程 方程表述的定律称为群体增长的马尔萨斯律. 例3 在推广某项新技术时, 若设该项技术需要推广 则新技术推广的速度与已 推广人数和尚待推广人数成正比, 即有微分方程 在很多领域有广泛应用. 形如 上式的方程通常称为逻辑斯谛方程, 未知函数为一元函数的微分方程定义为常微分方程; 未知函数为多元函数的微分方程定义为偏微分方程. 不能表示成形如上式 形式的微分方程，统称为非线性方程. 定义9.2 的解. 可以验证， 定义9.3 （9.4）求特解的步骤： 然后再根据实际情况给出 确定通解中n个常数的条件, 称为定解条件, 条件求出满足条件的特解. 由定解条件求特解的问题，称为微分方程的定解问题. 而通解中给任意常数 如果方程（9.4）的解中含有n个独立的任意常数， 则称这样的解为方程（9.4）的通解. 以确定值的解, 称为方程（9.4）的特解. 首先要求出方程 （9.4） 的通解， 常见的定解条件是 相应的定解问题又称为微分方程的初值问题. 最后根据定解 一、可分离变量方程 一阶微分方程的形式可表为 形如 的一阶微分方程, 称为可分离变量方程. 对（9-8）两边积分, 得通解 将微分方程化为分离变量形式求解方程的方法， 称为分离变量法. 均为可分离变量方程.