高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套课件第一讲 相似三角形.ppt

三角形相似与射影定理 例7、如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，DE⊥AC，DF⊥AB， 求证：∠AEF= ∠B 例8、如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，且BM=BN， BP⊥MC于点P，求证： （1）△BPN∽△CPD （2）DP⊥NP * * 三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似，记作△ABC∽△ A′B′C′ 两个相似三角形对应边的比称为这两个相似三角形的相似比，当两个相似三角形的相似比等于1时，这两个三角形全等 相似三角形的判定定理 （1）两角对应相等的两个三角形相似 （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 （3）三边对应成比例的两个三角形相似 推论 如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形另两条边相交，则截得的三角形与原三角形相似 相似三角形的性质定理 相似三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方 例1、证明：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 已知：如图，△ABC中，∠B=90°， △ A′B′C′中， ∠B′=90°，且AC:A′C′＝AB:A′B′ 求证： △ABC∽△A′B′C′ A B C A′ B′ C′ 例2、如图， △ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF A B C F D E P 例3、如图，一块形状为三角形的铁皮ABC，其面积为S，要在此铁皮上剪下一个面积最大的矩形EFGH，使边EF在边BC上，试问：G、H应在何处，才能使矩形的面积最大？最大面积是多少？ A B C D H E F G M 从一点向一条直线作垂线，垂足就称为这点在这条直线上的射影 一般地，一个点集（例如线段或其它几何图形）中所有的点在某直线上的射影的集合，就是这个点集在这条直线上的射影 直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边的在斜边上射影的乘积 A B C D Rt△ABC∽Rt△ACD∽△Rt△CBD AC2＝AB·AD BC2＝AB·BD CD2＝AD·BD 例3、试用直角三角形射影定理证明勾股定理 A B C D 已知：如图，Rt△ABC中， ∠C=90° 求证：AC2＋BC2＝AB2 例4、如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC＞BC，CD⊥AB于点D，若CD＝4，AB＝10，求AC及BC A B C D 例6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证： A B C D E F A B C D F E A B P N M D C * * * *