外心及垂心间的向量关系及应用.docVIP

外心和垂心间的向量关系及应用 定理：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是。 证明：如图1，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，则 ∵O为外心，∴OB=OC，∴平行四边形OBDC为菱形 ∴ OD⊥BC，而AH⊥BC，∴ AH∥OD， ∴存在实数，使得 ∴ ①。 同理，存在实数，，使得 ② ③ 比较①、②、③可得，，∴ 反之，若，则， ∵ O为外心，∴OB=OC ∴ ∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC。∴ H为垂心。 推论：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线，且OG=GH。O、G、H三点连线称为欧拉线。这就是关于三角形的外心、重心、垂心的欧拉定理 证明：如图2，由命题1、2知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。 ∴ ∵ H是△ABC的垂心 ∴ ， ∴ ∴O、G、H三点共线，且OG=GH。 例1、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。 解：如图3，设外接圆半径为R，点O是外心，则 PA2+PB2+PC2= （H为垂心） ∴当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2R·OH 当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R2－2R·OH 例2、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，试求∠A的度数 解：设△ABC的外接圆半径为R，点O是外心。 ∵ H是△ABC的垂心 ∴ ∴ ∴ ∵ ，∴ ∵AH=BC， ∴ ∴ 而∠A为△ABC的内角，∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270° ∴ ∠A的度数为45°或135°。 例3、（2002年联赛加试第一题）在锐角△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN。求的值。 解：如图4，设外接圆的半径为R，设，，。 ∵点O是外心，∠A=60°∴OA=OB=OC=R，。且∠BOC=2∠A=120°，∠COA=2∠B，∠AOB=2∠C。 ∵ H为垂心，∴ ∴， ∵点M、N分别在线段BH、HF上 ∴ 令，， （，） 则，， ∴， ∴BM= 同理，CN=，MH， NH ∵ BM=CN ，= 即= ∵ AB＞AC，∴∠B＜∠C 又，∴OH= ∴MH+NH+= ==OH ∴=。 1 图1 图2 图3 图4