2014人教A版数学必修5“基本不等式”课件.pptVIP

第三章　 第三章　不等式 系列丛书 进入导航 第三章 3.4 第1课时 系列丛书 进入导航 不等式 第1课时　基本不等式 课 时 作 业 课前自主预习 课堂互动探究 随堂知能训练 课 主 自 前 预 习 课 动 互 堂 探 究 * * 1.探索并了解基本不等式的证明过程． 2.能利用基本不等式证明简单不等式. 目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩 课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标 1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b22ab，当且仅当时，等号成立． 新知初探 ≥ a＝b 2．基本不等式：如果a，bR＋，那么，当且仅当时，等号成立．其中为a，b的，为a，b的．所以两个正数的平均数不小于它们的平均数． 3．已知a，bR＋，则a＋≥2，＋≥2. ≤ a＝b 算术平均数 几何平均数 算术 几何 1．基本不等式“≤”中为什么要限定“a0，b0”？ 思考感悟 提示：(1)若a，b异号，显然无意义，故不等式不成立． (2)若a0，b0，显然0，而0，故不等式也不成立． (3)若a，b之一为零，则与间的关系明确，无需研究． 2．你能推导出≤(a0，b0)等号成立的条件吗？ 提示：由＝可得a＋b＝2，即(－)2＝0， ＝，即a＝b，所以不等式“≤”等号成立的条件为a＝b. 3．基本不等式中的a，b可以是任意值为正数的代数式吗？ 提示：可以．基本不等式强调a，b为正数，所以任意值为正的数、字母、代数式都可作为公式中的a，b.如≥，就是用代替a，代替b. 例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升 类型一 基本不等式成立的条件 [例1]　判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)若x0，则x＋≥2； (2)若x0，则x＋≤－2； (3)若ab＝3，则a＋b≥2. 典例导悟 [解]　(1)正确，x0， x＋≥2＝2. x＋≥2. (2)正确，x0，－x0. x＋＝－(－x)－＝－[(－x)＋]． 又－x＋≥2＝2， x＋≤－2. (3)不正确，a，b不一定是正数． [点评]　1.不等式≥成立的条件为a0，b0；等号成立的条件为“a＝b”． 2．在含有参数的式子里，如果变量范围没有明确，应慎用不等式． 变式训练1　以下结论中，错用基本不等式作依据的是(　　) A．x，y均为正数，则＋≥2 B．aR，则(1＋a)(1＋)≥4 C．若x1，则lgx＋logx10≥2 D.≥2 解析：A，C符合基本不等式，可以运用基本不等式作理论依据．D拆项后为＋，符合基本不等式，只有B，因给出aR，所以需讨论．故答案为B. 答案：B 类型二 利用基本不等式比较大小 [例2]　已知f(x)＝ax(a0，且a≠1)，当x1≠x2时，比较f()与的大小． [分析]　本题考查对基本不等式的理解．可先计算出f()与，再根据形式上的特点，利用基本不等式进行比较． [解]　f(x)＝ax，f()＝a， [f(x1)＋f(x2)]＝(ax1＋ax2)． a0，且a≠1，x1≠x2，ax10，ax20，且ax1≠ax2. (ax1＋ax2)＝a， 即f()[f(x1)＋f(x2)]． [点评]　比较式子的大小的方法： (1)作差法．(2)利用基本不等式．(3)利用函数的单调性．(4)利用中间值．(5)赋值法． 变式训练2　已知m＝a＋(a2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．mn　　　　　　　　B．mn C．m＝n D．不确定 解析：解答本题先根据基本不等式求出m的范围，再根据指数函数的性质求出n的取值范围，再比较m，n的大小．a2，a－20，又m＝a＋＝(a－2)＋＋2. m≥2＋2＝4，即m[4，＋∞)．由b≠0得b2≠0，2－b22，22－b24，即n4，n∈(0,4)．综上易得mn.故选A. 答案：A 类型三 利用基本不等式证明不等式 [例3]　设a，b，c均为实数． 求证：＋＋≥＋＋. [分析]　要证明的不等式的两边都是三项的和式，很难直接合并，可以多次利用基本不等式将每两个数进行合并，然后求和． [证明]　a，b，c均为实数， (＋)≥≥，当a＝b时等号成立； 同理，(＋)≥≥，当b＝c时等号成立； (＋)≥≥，当a＝c时等号成立． 三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立． [点评]　对于多项和的不等式证明过程中，常常多次用到基本不等式证明．但一定要注意等号能不能同时取． 变式训练3　已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＋＋. 证明：a0，b0，c0， a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2. 2(a＋b＋c)≥