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第l1卷第 1-2期 非 线 性 动 力 学 学 报 、，01．1lNo．1—_2 2O04年 6月 JournalofNonlinearDynamicsinScienceandTechnology Jun．2004 多尺度法的设解形式之探讨· 张琪昌 任爱娣 刘海英 (天津大学机械学院力学系 天津，300072) 摘要 当采用多尺度法研究非线性振动问题时，经常会遇到不同情形下系统响应的设解 形式不同的问题，不同的设解形式得到的结果是否相同，用哪种设解形式更为好一些，在其 他文献中尚未见到有关讨论．本文针对一类具有平方和立方非线性项的单自由度和多自由度 非线性系统，得到不同设解形式下的一次近似解和二次近似解，井与数值解相比较，发现两 种设解形式的近似解与数值仿真解的解曲线吻合的很好，表明传统的各种设解形式在研究弱 非线性系统时都有很好的近似性． ． 关键词 非线性振动，多尺度法，近似解 中国分类号 O322 1引言 在非线性振动理论的研究中，多尺度法是一种经典的常用方法，它不但对严格的周 期运动适用，也适用于耗散系统的衰减振动和其他的许多场合．但在系统响应的设解形式 上，文献 l【】中在不同的情形下有着不同的设解形式：在单自由度系统中，对于非保守系 统其设解形式为 x(t)=Xo(ro，，，…)+ lfro，，，…)+：x~(ro，，，…)+…， 我们称其为设解方式l；而对单自由度保守系统及一般多自由度系统中，以两个自由 度的系统为例，设解形式为 UI= lfro，，，…)+ UI2fro，，，…)+ lll3fro，，，…)+… = lfro，，，…)+ u=fro，，，…)+ z(，，，…)+…’ 我们称其为设解方式2，在文献 2【】、3【】、4【】、5【】中设解形式也是互不相同的．单 自由度系统是多自由度系统最简单的形式，其设解形式应该是相同的，而不同的设解形 式得到的结果是否相同，用哪种设解形式更为好一些，这些问题在我们授课过程中经常 ’本文于2003年8月l3日收到 国家自然科学基金资助项目(编号10272078) 第1-2期 张琪昌等：多尺度法的设解形式之探讨 67 困扰着学生，在其他文献中尚未见到相关讨论．本文针对一类单自由度自治系统和一类两 自由度自治系统，得到不同设解形式下的一次近似解和二次近似解，并与数值解相比较， 发现这两种设解形式的近似解与数值解吻合的很好． 2单自由度自治系统 (1)授照方式 1设解 研究下面单自由度 自治系统 ”【 ’ +舌：cf(，) 的二次近似解，其中f(x，)=一 (62+6])． 引进多个时间尺度变量 ，， ，设解为’【i (，)=Xo(ro，，)+ (to，，)+ ：x．(ro，，)+…’ 代入式(1)可得到微分方程组 域xo+ Xo=0 2 9 l+ l=-2DoDlxo一 2 一 D]I ． (3) 2+ 一 2DoDIxl一 jco-2DoD：xo一3oJob3 —Z~Ob：XoX。 g 求解上式可得到其二次近似解为： =…s+。(吉c。s2一)+壶c。s3 5i626 一 316’6]。s2 去蜘)c。s3+~6b：b3a4cos4