高中数学函数与方程的思想探析.docVIP

　　高中数学函数与方程的思想探析 高中数学函数与方程的思想探析 　　一、知识内容 　　1. 函数的思想 　　就是利用函数的图像和性质分析问题，通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题，特别是一些超越方程或超越不等式中，巧用函数的思想，会使问题迎刃而解。 　　2. 方程的思想 　　就是把函数构造成方程，利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题，都可利用解二元方程组来巧妙解决。 　　二、典例分析 　　1. （题型1）构造函数，并利用函数的图像和性质来解决有关问题 　　例1 若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。 　　分析：方程2x+2x=5与方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以应找到两个方程之间的联系，转化为函数的思想来解答。 　　解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x（1） 　　2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x （2） 　　由（1）式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=-x的产生的交点A的横坐标； 　　由（2）式知x2可以看做函数y=log2（x-1）与函数y=-x产生的交点B的横坐标。 　　而y=2x-1与y=log2（x-1）分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称，即y=2x-1与log2（x-1）函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=-x互相垂直，其交点C坐标为（，），同时A、B两点关于C点对称，所以x1+x2=2=。 　　点评：本例由已知本文由论文联盟.L.cOm收集整理方程构成函数，巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。 　　变式：设a，bisin;R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。 　　分析：观察已知条件中结构形式，构造函数f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）为奇函数且y=f（x）在R递增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。 　　例2 设不等式2x-1gt;m（x2-1）对满足的一切实数恒成立，求实数的取值范围。 　　分析：不等式f（x）ge;g（x）恒成立，往往都是构造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）minge;0，即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F（x）=2x-1-m（x2-1），misin;[-2，2]，往求F（x）min，利用分类讨论思想较为复杂化，若变换以m为主元，x为辅元，即一次函数F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2le;mle;2，往求F（m）max，即可使得F（m）maxlt;0。 　　只要f（-2）lt;0f（2）lt;0-2（x2-1）-（2x-1）lt;02（x2-1）-（2x-1）lt;0lt;Xlt;， 　　there4;实数x的取值范围为（，）。 　　点评：本例将不等式恒成立问题构造函数，利用函数的性质巧妙解决问题。 　　2. （题型2）建立方程，利用方程的思想解决有关问题 　　例3 如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数的值。 　　分析：函数y=的定义域为R，值域为-1le;yle;4，由y=转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根，使用到别式。 　　解：y=定义域为Ryx2-ax+y-b=0有实数根 （-a）2-4y（y-b）ge;04y2-4by-a2le;0。 　　∵-1le;yle;4，there4;4y2-4by-a2-=0产生有两根-1，4。 　　there4;-1+4=-1+4=a=plusmn;4b=3。 　　点评：本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。 　　例4 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（agt;0，ane;1）。 　　（1）当agt;1时，求证：函数f（x）在（0，+infin;）单调递增。 　　（2）若函数y=f（x）-t-1有三个零点，求的值。 　　分析：函数y=f（x）-t-1有三个零点转化方程f（x）-t-1=0有三个根，再转化成f（x）=tplusmn;1方程有三个根，再转化成函数y=f（x）与函数y==tplusmn;1有三个交点，利用函数与方程思想相互转化。 　　解：（1）f（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。 　　∵xgt;0，agt;1，there4;axgt;1，ax-1gt;0，lnagt;0，2xgt;0。 　　there4;（ax-1）lna+2xgt;0，即f（x）g