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第三讲:鸡兔同笼问题这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？　　题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。　　现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。　　我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为X，鸡的数量为Y　　那么：X+Y=35那么4X+2Y=94 这个算方程解出后得：兔子有12只，鸡有23只。1.班主任张老师带五年级（2）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？ 　　解：设男生有X人 女生有（50-X人）。 　　3x=120-5-2（50-x）　　3x=115-2乘50+2x　　3x=115-100+2x　　3x=15+2x　　x=15　　50-15=35（人） 答：男生有15人，女生有35人。　　2.大油瓶一瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。问大小油瓶各多少个？　　（化为鸡兔同笼问题）大瓶和小瓶个数为总头数60，大瓶（脚）4，小瓶（脚）0.5，总脚数为100大瓶个数=（100-60*0.5）/(4-0.5)=20小瓶个数=60-20=40　　答：大瓶20个，小瓶40个。　　3.小毛参加数学竞赛，共做20道题，得67分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的同样多。问小毛做对几道题？　　这道题可以设小毛做对X道，那么做错（20-X）÷2，没做（20-X）÷2，然后用作对的乘5减去做错的乘1，等于67。　　方程：　　5X-（20-X)÷2×1=67 X=14 小毛做对14道　　4.有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？ 　　一,基本问题 　　鸡兔同笼是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--假设法来求解.因此很有必要学会它的解法和思路. 　　例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只 　　解:我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是 　　244÷2=122(只). 　　在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数 　　122-88=34, 　　有34只兔子.当然鸡就有54只. 　　答:有兔子34只,鸡54只. 　　上面的计算,可以归结为下面算式: 　　总脚数÷2-总头数=兔子数. 　　上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,脚数就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法. 　　还说例1. 　　如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了 　　88×4-244=108(只). 　　每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡 　　(88×4-244)÷(4-2)= 54(只). 　　说明我们设想的88只兔子中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式 　　鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数). 　　当然,我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚2×88=176(只),比244只脚少了 　　244-176=68(只). 　　每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚, 　　68÷2=34(只).