高3数学椭圆概念、性质.docVIP

高 三 数 学----圆锥曲线 【教学内容】 椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系及椭圆的应用。 【教学目标】 1、熟练掌握椭圆的定义：到两定点的距离之和等于定长（大于两定点间的距离）的点的轨迹，并能灵活地运用定义来解决有关问题。 2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程及离心率、长轴长、短轴长、焦距的计算。 3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题。 【知识讲解】 例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点A（3，0），求椭圆的方程。 [分析] 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论。 解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为，把点A（3，0）代入得 则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为。 2°若焦点在y轴上，设椭圆的方程为同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为。 例2、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。 解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，∵四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由椭圆的几何意义可知，解之得：，此时椭圆的方程为，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为或。 例3、椭圆的焦点分别是F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2的面积是20，求直线方程。 解：由椭圆的对称性可知，，设点A的坐标为（x1，y1），则，又由条件可知a2=45，b2=20，则c=5，∴|y1|=4，代入椭圆可知x1=±3，∴，∴直线AB的方程为。 例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率。 解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30°，则，∴，∴椭圆的长轴长为8，短轴长为12，， ∴离心率。 例5、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。 [分析] 根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a-ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。 解：由椭圆方程可知a2=2，b2=1则c=1，∴离心率，由焦半径公式可知，。又直线的方程为： 即x1x+2y1y-2=0，由点到直线的距离公式知，，又点（x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，∴， ∴为定值。 例6、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，∴a=2，，c=1，∴， ，点M到椭圆左准线的距离 ，∴，∴，∴或，这与x1∈[-2，0)相矛盾，∴满足条件的点M不存在。 例7、直线：6x-5y-28=0交椭圆（a＞b＞2）于B、C两点，A（0，b）是椭圆的一个顶点，而△ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程。 解：设BC的中点D（x0，y0）, F（c，0）,由定比分点公式可知，, ∴，又点D在直线上，∴① 又设B（x1，y1）、C（x2，y2）则 两式相减得： ， 代入得：，∴2a2-5bc=0 ② 又a2=b2+c2 由①、②可得c=2或。 当c=2时，代入①得b=4，则a2=20， 当时，舍去。 ∴所求椭圆的方程为。 例8、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。 分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为，而 ，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解：设A（x0，