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高一数学竞赛班 第讲 班级 姓名 一、知识要点： ．I型抽屉原理 把个物体放入个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不少于个，其中 2．II型抽屉原理 把个物体放入个抽屉，则至少有一个抽屉的物品不多于个，其中 3．二、经典例题 例．（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证：无论怎样染，总存在同色三角形。 例．(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家，其中每一个人和其他所有人的都通信，他们的通信中只讨论三个题目中的一个。求证：至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. 例．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论. 例．（2010年联赛加试第四题）边形的每个顶点处赋值和两个数中的一个，同时在每个顶点处涂红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同。问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 二、 1．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话. ．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？ ．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识. ．?（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的. ．对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种。证明：平面内存在端点同色的单位线段。 ．为实数，满足，求证：对于每一个整数，存在不全为零的整数，使得，并且。 第讲 例．证明? 设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形. 如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明. 例． (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. 证明? 用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形. 考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证. 上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作kn.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6. 定理1? 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形. 定理2? 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形. （2）点染色.先看离散的有限个点的情况. 例．（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论. 证明? 将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个. 现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个. 993个奇数，占据