北师大版选修2-1高中数学2.4“用向量讨论垂直与平行”课件.pptVIP

1．垂直问题 (1)直线与直线垂直：只要两直线的________垂直，两直线必垂直． (2)直线与平面垂直：直线的________若与平面的________平行，则直线与平面垂直；反之亦成立． (3)平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要条件是：_____________________________． 2．平行问题 (1)直线与直线平行：只要两条直线的__________________________________． (2)直线与平面平行：直线的____________若与平面的__________垂直(直线不在平面内)，则直线与平面平行． (3)平面与平面平行：当两平面的______________(两平面不重合)时两平面平行． 3．三垂线定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的________，则这两条直线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的________． 2．确定平面的法向量 平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量．也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量． 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明 (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线． (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面． (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线． 4．关于三垂线定理的理解 (1)三垂线定理叙述的是平面内直线a与平面的斜线b，及斜线b在平面内的投影c三者之间的垂直关系． (2)这里a与b可以相交，可以异面． (3)三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要依据，三垂线定理跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，为解决线线垂直提供了一条捷径． 5．直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面的平行关系中的应用 (1)若两直线l1，l2的方向向量分别是u1，u2，则l1∥l2?u1∥u2. (2)若两平面α，β的一个法向量分别是n1，n2，则α∥β?n1∥n2. (3)若直线l的方向向量是u，平面α的一个法向量是n，则l∥α?u⊥n?u·n＝0. 6．判定空间线、面垂直关系时，直线的方向向量与平面的法向量的确定方法 在实际解题过程中，需要确定直线的方向向量和平面的法向量，通常是先确定直线上两点的坐标，从而求出直线的方向向量；平面的法向量则通常需要确定平面内不共线的三个点的坐标，然后确定平面内两条直线的方向向量，最后用待定系数法求出平面法向量． 1．设两条直线所成角为θ(θ为锐角)，则直线的方向向量的夹角与θ(　　) A．相等　　　　　 B．互补 C．互余 D．相等或互补 [答案]　D 4．在空间直角坐标系中，平面xOz的一个法向量是(　　) A．(1,0,0) B．(0,1,0) C．(0,0,1) D．(0,1,1) [答案]　B 5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l与α斜交 [答案]　B [解析]　∵u＝－2a，∴a∥u.∵u为平面α的法向量，∴l⊥α. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点． (1)求证：AC⊥BC1； (2)求证：AC1∥平面CDB1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN. [总结反思]　证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点． 求证：平面A1DB∥平面EFG. [证明]　以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC． [分析]　可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明． [总结反思]　用向量法证明线面垂直的方法与步骤 (1)基向量法 ①确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表