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课 题：平面向量的数量积及运算律 数学组 王海军 2005 4月12 教学目的： 1掌握平面向量数量积运算规律； 2能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析? 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质? 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos?叫与的数量积，记作?，即有? = ||||cos?， （０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0 3．“投影”的概念：作图 定义：||cos?叫做向量在方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 ||；当? = 180?时投影为 ?|| 4．向量的数量积的几何意义： 数量积?等于的长度与在方向上投影||cos?的乘积 5．两个向量的数量积的性质： 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 1?? = ?=||cos?；2?? ? ? = 0 3?当与同向时，? = ||||；当与反向时，? = ?|||| 特别的? = ||2或 4?cos? = ；5?|?| ≤ |||| 6．判断下列各题正确与否： 1?若 = ，则对任一向量，有? = 0 ( √ ) 2?若 ? ，则对任一非零向量，有? ? 0 ( × ) 3?若 ? ，? = 0，则 = ( × ) 4?若? = 0，则 、至少有一个为零 ( × ) 5?若 ? ，? = ?，则 = ( × ) 6?若? = ?，则 = 当且仅当 ? 时成立 ( × ) 7?对任意向量、、，有(?)? ? ?(?) ( × ) 8?对任意向量，有2 = ||2 ( √ ) 二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律： ? = ? 证：设，夹角为?，则 ? = ||||cos?， ? = ||||cos? ∴ ? = ? 2．数乘结合律：()? =(?) = ?() 证：若 0，()? =||||cos?， (?) =||||cos?，?() =||||cos?， 若 0，()? =||||cos(???) = ?||||(?cos?) =||||cos?， (?) =||||cos?， ?() =||||cos(???) = ?||||(?cos?) =||||cos? 3．分配律：( + )? = ?c + ? 在平面内取一点O，作= , = ，=， ∵ + （即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和， 即 | + | cos? = || cos?1 + || cos?2 ∴| | | + | cos? =|| || cos?1 + || || cos?2 ∴?( + ) = ? + ? 即：( + )?= ? + ? 说明：（1）一般地，(·)≠（·） （2）·＝·，≠＝ （3）有如下常用性质：２＝｜｜２， （＋）（＋）＝·＋·＋·＋· (＋)２＝２＋２·＋２ 三、讲解范例： 例1 已知、都是非零向量，且 + 3与7 ? 5垂直， ? 4与7 ? 2垂直，求与的夹角 解：由( + 3)(7 ? 5) = 0 ? 72 + 16? ?152 = 0 ① ( ? 4)(7 ? 2) = 0 ? 72 ? 30? + 82 = 0 ② 两式相减：2? = 2 代入①或②得：2 = 2 设、的夹角为?，则cos? = ∴? = 60? 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解：如图：ABCD中，，，= ∴||2= 而= ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 例3 四边形ABCD中，＝，＝，＝，＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由