芜湖县一中2015–2016学年度第一学期高一年级数学竞赛试题.docVIP

芜湖县一中2015-2016学年度第一学期高一年级数学竞赛试题 班级： 姓名： 一、填空题（每小题5分，共30分） 1．已知＋()－y ＋()x，则实数x、y的关系为______． 3．函数的最小值= . 4．已知正方形的边长为1，直线过正方形的中心交边于两点，若点满足（），则的最小值为 ． 5．若自然数n使得作加法n＋(n＋1)＋(n＋2)运算均不产生进位现象，则称n为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A，则集合A中的数字和为________． 如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．当小正六边形沿着大正六边形的边滚动4周后返回出发时的位置，记在这个过程中向量围绕着点旋转角（其中为小正六边形的中心），则等于 7．（本题满分12分）设是正实数，且，记 关于，并求其定义域 （2）若函数在区间内有意义求实数的取值范围 8．（本题满分13分）已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若关于的不等式只有一个整数解求实数的取值范围 9．（本题满分15分）在中，内角所对的边分别为，已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值. 10．（本题满分15分）设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）． （1）求的值； （2）为线段上一点，若， 求实数的值； （3）为边上一动点，当取最小值时，求的值． 11．（本题满分15分）设函数 且,当点是函数图象上的点时，点是函数图象上的点． （1）写出函数的解析式； （2）若当时，恒有,试确定的取值范围． 参考答案 1．x＋y0 由＋()－y ＋()x，得－()x －()－y设f(x)＝－()x，则(x)f(－y)由于0 所以函数(x)是R上的增函数所以x－y即x＋y0 【解析】 试题分析：二次函数的开口向上对称轴为,且函数在上单调递减,在上单调递增.所以时取得最小值为.所以.即.因为,由对称性可知,所以,综上可得. 考点：二次函数的图像. 3．（理） （文）2 【解析】略 4． 【解析】 试题分析：变形为 当取最大值时取得最小值 考点：向量的数量积运算 5．6 【解析】给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A＝{0,1,2,3}集合A中的数字和为6. 【解析】 试题分析：转完一边转过的角为,所以转完4周后, 所以,所以. 考点：1诱导公式;2数形结合. 8．（1），定义域；（2）． 【解析】 试题分析：（1）利用以及，将的表达式通过等价变形为只含的代数式，再由重要不等式，从而求解；（2）对任意恒成立，从而进一步等价于求函数在上的最大值即可． 试题解析：（1） ，又∵，∴，即，定义域；（2）易得在上单调递减，∴，∴有最大值， 又∵函数在区间内有意义对任意恒成立，∴． 考点：1．不等式的性质；2．函数的性质；3．恒成立问题． 9．（1）；（2）． 【解析】 试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知对任意恒成立，从而即可求得的值；（2）的单调性，可将不等式等价转化为，再有题意只有一个整数解，即可得到关于的不等式，从而求解． 试题解析：（1）显然的定义域为，又∵是奇函数， ∴对一切实数都成立， ∴； （2）易得为上的单调递增函数，又由是奇函数，∴ ， 当时，显然不符合题意，当时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为，∴该整数解为1，∴，即实数的取值范围是． 考点：1．奇函数的性质；2．不等式的性质． 【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决． ；（Ⅱ）. 【解析】 试题分析: （Ⅰ）在中，，结合正弦定理得，由，知 ， 再用余弦定理求得的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在中，可得，利用二倍角的正弦、余弦公式求得、，在利用两角差的余弦公式求得.在求解三角形时，要注意正弦定理、余弦定理的正确使用，在求解两角和与差的三角函数时，要注意结合角的范围，求出要用到的角的三角函数值，并利用公式正确求解. 试题解析：（Ⅰ）在中，由及，可得， 2分 ，有 4分 ； 6