第七章矢量代数与空间解析几何.docVIP

第七章 空间解析几何 （一）、基本内容 （一）空间直角坐标系 两点间距离公式 （二）空间向量 向量的概念 向量 向量的模 零向量 单位向量 反向量 向量相等 向量的运算 向量的加法 向量的减法 向量的数乘 向量的数量积（点积） 向量的向量积（叉积） （三）向量的坐标 向量的坐标表达式 向量运算及性质的坐标表示 向量的方向余弦 （四）空间平面及方程 平面的方程 点法式方程 一般方程 截距式方程 有关平面的几个问题 点到平面的距离 两平面间的夹角余弦 两平面间位置关系 （五）空间直线及程 1.空间直线的方程 (1)对称式方程 (2)参数方程 (3)一方程,看成两平面的交线 2.平面束方程 （六）空间曲面及方程 球面方程 母线平行于坐标轴的柱面方程 旋转曲面方程 椭球面方程 椭圆抛物面方程 双面抛物面方程（又称鞍形曲面） 双曲面方程 （七）空间曲线及方程 1.空间曲线的方程 (1)一般方程 (2)参数方程 2．空间曲线在坐标平面上的投影 练习题答案 1．已知，，，求与的夹角 解：由 可得 故 2．求以和为邻边的平行四边形对角线间夹角的正弦 解： ， 3．证明：三角形三高交于一点 证： 如图， 只需证 因 令 ， ， ，则有 从而 于是 即 ，得证 4．试证 证明：如图，令 同理 则 故得证 5．设向量与三个基本单位向量成相等的锐角，且，求 解：因 ，且 故  = 6．已知三角形的顶点，与，求从顶点做出的中线的长度 解：如图 7． 过点及轴； 过点平行于平面； 过点和且垂直于平面； 过轴且与平面的夹角为； 由点及直线：决定； 由两条相交直线和决定； (7) 经过直线且与平面成角 解： 设： 点代入上式得 故： 设： 将得 故： 取 由点法式方程得： 设： ， 得 或 故： 或 直线过点 得： 故： 设 则 ， 故： 设平面： 整理 则 得 故： 8．求由平面与所成二面角的平面方程 解：设点 得： 或 9．求过直线，且在轴上截距为的平面方程 解：设： 整理 故： 10．求过直线，且切于球面的平面方程 解：设： 整理 球心到的距离为 解得 故： 11．写出下列直线方程： 过点且平行于直线； 过点且平行于直线； 过点且平行于轴； 过点且与直线相交，又平行于平面 解：设直线的方向向量均为 ① ： ② ： ③ ： ④： 过 即 故 从而 ： ⑤ ： ： 故所求直线 12．若，两点关于直线对称，且的坐标为，求点 的坐标。 解：： ： 故 13．已知直线，求在面及平面上的投影 方程。 解： 因： 故 14．求两不平行直线和之间的距离。 解： 故： 点 15．求两直线，的公垂线方程，且求公垂线的长。 ①求公垂线长 故： ②求公垂线方程 故： 故： 从而公垂线为 16．在平面上求一直线，使之与两直线和都相交 解：由已知得 ： ： ： 17．直线绕周旋转一周，求旋转曲线的方程 解：： 18．两球面和的交线在平面上的投影是什么曲线，写出它的方程 解： 是椭圆 19．求过两圆周和的球面方程 解： 故球面方程为 20．已知曲面，从原点沿方向余弦为的方向作射 线交曲面于，证明： 证明：设 ① 则 ② 将①代入②即证 测试题（七-1）答案 1．已知向量 (1). (2). (3). (4). 解：① ② ③ ④ 2． 解：已知向量，，与。计算： （1） （2） （3） （4） 解：① ， ② ③ ④ 3．设 (1)； （2） （3） 解：① ② ③ 4．问在直线方程中各系数应当满足哪些条件才会使 （1） （2） （3） （4）直线过坐标原点； 解：①