矩阵理论〔科学出版社〕习题详细解答.docVIP

单缝衍射的光强分布及缝宽测定 观察单缝的夫琅和费衍射现象及其随单缝宽度变化的规律，加深对光的衍射理论的理解。 学习光强分布的光电测量方法。 利用衍射花样测定单缝的宽度。 实验原理 夫琅和费衍射是平行光的衍射，在实验中可借助两个透镜来实现，如图1所示。与光轴平行的衍射光会聚于屏上P0处，是中央亮纹的中心，其光强设为I0；与光轴成θ角的衍射光束会聚于处，可以证明,处的光强为 图1 （1） 式中： a为狭缝宽度，λ为单色光的波长。 当u=0时，衍射光强有最大值。当u=kπ（k为整数）时，衍射光强有极小值，对应于屏上的暗纹。由于θ值实际上很小，因此可近似地认为暗纹对应的衍射角为θ≈kλ/a。两相邻暗纹之间都有一个次极大，其光强分布曲线如图2所示。 ? 仪器用具 光具座、He-Ne激光器、可调单狭缝（固定单缝）、光电池及测距支架、光点检流计、投影仪（或读数显微镜） 图2 实验内容 开启激光，调节光路至测量状态。 测量夫琅和费单缝衍射光强分布，作光强分布曲线。 用暗纹的衍射角算出单缝的宽度，并与投影仪（或读数显微镜）直接测量结果比较。 调节可变单缝的宽度，观察衍射图样的变化。 ? 预习思考题 用He-Ne激光做光源的实验装置是否满足夫琅和费衍射条件？为什么？ 当缝宽增加一倍时，衍射花样的光强和条纹宽度会怎样改变？如缝宽减半，又怎样改变？ ? 习题 一 1．（1）因=，故由归纳法知 。 （2）直接计算得，故设，则，即只需算出即可。 （3）记J=，则 ， 。 2．设 不可能。 而由知所以所求矩阵为， 其中P为任意满秩矩阵，而 。 注：无实解，的讨论雷同。 3．设A为已给矩阵，由条件对任意n阶方阵X有AX=XA，即把X看作个未知数时线 性方程AXXA=0有个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 通过直接检验即发现A为纯量矩阵。 4．分别对（A B）和作行（列）初等变换即可。 5．先证A或B是初等到阵时有，从而当A或B为可逆阵时有。 考虑到初等变换A对B的阶子行列式的影响及即可得前面提到的结果。 下设，（这里P，Q满秩），则由前讨论只需证下式成立即可： ， rn-1时，因秩小于n-1的n 阶方阵的n-1阶子式全为0，结论显然； r=n-1时，，，但 ，故 。 6．由，即与同解，此即所求证。 7．设其逆为，则当I固定时由可逆阵的定义得n个方程 ，， 其中为Kronecker符号。对这里的第个方程乘以然后全加起来得 ，即得。 注：同一方程式的全部本原根之和为0，且也是本原根（可能其满足的方程次数小于n）。 习题 二 因，所以V中零元素为1，x的负元素为，再证结合律、交换律和分配律。 归纳法：设，则下面三者之一必成立： （1）； （2）。 存在及。 如果是（1）（2）则归纳成立，如果是（3）则选s 个不同的数，则必有某一个。 U是满足方程tr(A)=0解向量空间，其维数为，故其补空间为一维的，可由任一迹非0的矩阵生成。 易证线性封闭。又设V中元素为，则U是满足方程的子空间。故U的维数为n-1，其补空间为一维的，故任取一系数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 记U=，，把U,W放在一起成4行5列的矩阵，其Hermite标准形为 ， 故的基为，U的基为，；W的基为，； 的基为，，。 6．，， 故； 。 7．（1）由线性组合，由基定义知其为一组基。 （2）由及得。 注：当kj时，。 8．由的线性组合知存在矩阵A使得，由线性无关可知故，把A的Hermite标准形非0行的第一个非0元所在列对应的全替代为即为所求。 9．易证为子空间； 上的核空间，故 。 习题 三 1．略 2．，故内积定义的（1）（3）显然；而 （2）成立为正定矩阵。 3．（1）（3）显然 （2）且等号成立当且仅当 。 。 习题 四 设AB的特征值及其对应的特征向量为，即，如，则（注意到只能有一个特征值为0）。故由知BA与AB特征值勤全相同，所以它们都相似于。