吴小平–2012年03月昆明市高三摸底调研测试文理第20题质量分析(用).docVIP

昆明市2012届高中新课程 高三第二次摸底调研测试数学文、理第20题质量分析 北京师范大学昆明附属中学 吴小平 一、近几年新课程高考全国文科卷解析几何方面命题归纳如下： 选择 填空 解答（必答） 解答（三选一） 2007 抛物线 双曲线 直线、圆 直线、圆、极坐标 2008 双曲线 直线、椭圆 直线、圆 直线、圆、 椭圆、参数方程 2009 直线、圆 直线、抛物线 直线、椭圆 直线、圆、 椭圆、参数方程 2010 双曲线 直线、圆 直线、椭圆 直线、圆、参数方程 2011 （1）椭圆； （2）直线、抛物线 直线、圆、 抛物线 直线、圆、 极坐标、参数方程 统测 双曲线 直线、抛物线 直线、圆、椭圆 直线、圆、 极坐标、参数方程 【文科第20题】 （本题满分12分）已知椭圆经过点，两焦点为、，短轴的一个端点为，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线恒过点，且交椭圆于、两点. 证明：以为直径的圆恒过定点． 【考查目标】 本题考查直线的方程、圆的方程及椭圆的方程，考查向量数量积的知识及椭圆的几何性质，考查定点问题的一种常用的处理方法，综合考查分类讨论的思想、数形结合的思想、待定系数法． 【命制过程】 五年高考中，“直线、圆”考了两次、“直线、椭圆”考了两次、“直线、圆、抛物线”考了一次，“直线、圆、椭圆”没考，这也是本次考试选题的原因之一，至于呈现形式，有如下考虑： （1）以向量的形式呈现线与线之间的位置关系，进而得到半短轴与半焦距之间的关系； （2）点、的坐标是关键，一方面与点联系起来，另一方面与联立得方程组的解联系起来，要求考生通过计算论证结论． 【解题思路】 （1）结合图形，由向量关系发现线段关系，再利用的关系求解； （2）用待定系数法设出直线的解析式，通过计算得到与之间的位置关系，进而证明圆过定点． 【答案】 解： （Ⅰ）由题意可知，为等腰直角三角形，且，∴，∴，又∵椭圆经过点，代入可得，∴，故所求椭圆方程为． （Ⅱ）当直线与轴垂直时，以为直径的圆的方程为，此圆显然过点；当直线不垂直于轴时，可设直线，由消去得：，设点、，则，又因为，，所以，所以，即以为直径的圆恒过点．综上所述，本题结论成立． 【试题评价】 试题设计围绕解析几何的基本思想方法展开，突出了数形结合的思想，侧重对思想方法的理解和应用，同时还强调了良好的运算求解能力，全面体现了解析几何的考查目标． 【答题效果】 平均分 及格率 优秀率 难度 总体 1.71 1% 1% 0.14 一级高中 2.33 3% 1% 0.19 二级高中 1.14 0% 0% 0.10 其它 3.41 5% 2% 0.28 第（1）题满分4分，没有难度，但得分很不理想． 二、近几年新课程高考全国理科卷解析几何方面命题归纳如下： 选择 填空 解答（必答） 解答（三选一） 2007 抛物线 双曲线 直线、椭圆 直线、圆、极坐标 2008 抛物线 直线、双曲线 直线、椭圆、抛物线 直线、圆、 椭圆、参数方程 2009 双曲线 直线、抛物线 直线、椭圆、双曲线 直线、圆、 椭圆、参数方程 2010 直线、双曲线 直线、圆 直线、椭圆 直线、圆、参数方程 2011 直线、双曲线 直线、椭圆 直线、抛物线 直线、圆、 极坐标、参数方程 统测 双曲线 直线、抛物线 直线、圆、椭圆 直线、圆、 极坐标、参数方程 【理科第20题】 （本题满分12分）已知椭圆经过点，两焦点为、，短轴的一个端点为，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线交椭圆于、两点（A、B不是上下顶点），当以为直径的圆恒过定点时，试问：直线l是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【考查目标】 本题考查直线的方程、圆的方程及椭圆的方程，考查向量数量积的知识及椭圆的几何性质，考查定点问题的一种处理方法，综合考查分类讨论的思想、数形结合的思想、待定系数法． 【命制过程】 在高考理科解答题中，直线、椭圆及抛物线都考到了，圆一直都没有考，本次命题由这方面的考虑，至于试题的呈现形式，如下考虑： （1）以向量的形式呈现线与线之间的位置关系，进而得到半短轴与半焦距之间的关系； （2）点、的坐标是关键，一方面与点联系起来，另一方面与联立得方程组的解联系起来，要求考生进行结论探索． 【解题思路】 （1）结合图形，由向量关系发现线段关系，再利用的关系求解； （2）用待定系数法设出直线的解析式，通过计算得到的值或发现的关系，进而观察是否过定点． 【答案】 解： （Ⅰ）由题意可知，为等腰直角三角形，且，∴，∴，又∵椭圆经过点，代入可得，∴，故所求椭圆方程为． （Ⅱ） ①若直线的斜率不存在，设.由，得：，，又由，得：，； ②若直线的斜率存在，设.由，得，，，且，