《高数》下册第11章练习题.docVIP

曲线积分与曲面积分 习题 11-1 设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（x,y）处它的线密度为（x,y）。用对弧长的曲线积分分别表达： 这曲线弧对x轴,对y轴的转动惯量, 这曲线弧的质心坐标, 利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3 计算下列对弧长的曲线积分： ，其中L为圆周 ，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段 ，其中L为由直线y=x及抛物线所围成的区域的整个边界 ，其中L为圆周，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界 ，其中为曲线上相应于t从0变到2的这段弧 ，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） ，，其中L为摆线的一拱 ，其中L为曲线 求半径为ａ，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心 设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度．求： 它关于ｚ轴的转动惯量 它的质心。 习题 11-2 1.设L为面内直线上的一段，证明： 设L为面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明： 计算下列对坐标的积分： ，其中L是抛物线上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧 ，其中L为圆周及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） ，其中L为圆周上对应t从0到的一段弧 ，其中L为圆周（按逆时针方向绕行） ，其中为曲线上对应从0到的一段弧 ，其中是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线 ，其中为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) ，其中L是抛物线上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 计算，其中L是： 抛物线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 从点（1,1）到点（4,2）的直线段 先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线 曲线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功 设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重力所做的功 把对坐标的曲线积分化成对弧长的积分曲线，其中L为： 在面内沿直线从点（0,0）到点（1,1） 沿抛物线从点（0,0）到点（1,1） 沿上半圆周从点（0,0）到点（1,1） 设为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分 习题 11-3 计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： ，其中L 是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线 ，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 星形线 椭圆 圆 计算曲线积分，其中L为圆周，L的方向为逆时针方向 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值 利用格林公式，计算下列曲线积分： ，其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界； ，其中L为正向星形线 ，其中L为在抛物线上由点（0,0）到（，1）的一段弧 ，其中L是在圆周上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧 验证下列在整个平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)： 设有一变力在坐标轴上的投影为，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。 .判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。 确定常数，使在右半平面x0上的向量为某二元函数u（x,y）的梯度，并求u(x,y) 习题 11-4 设有一分布着质量的曲面，在点（x,y,z）处它的面密度为（x,y,z）,用对面积的曲面积分表示这曲面对于x轴的转动惯量 按对面积的曲面积分的定义证明公式 其中是由和组成的 当是面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？ 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分，分别如下： 计算下列对面积的曲面积分： 7. 8. 习题 11-5 按对坐标的曲线面积的定义证明公式 2. 3.计算下列对坐标的曲面积分： （1） （2） （3） （4）区域的整个边界曲面的外侧 4.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分其中 （1） （2） 习题 11-6 利用高斯公式计算曲面积分： ，其中为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的