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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 文都名师：汤家凤的全面解析 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线渐近线的条数（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 解析：C 由为水平渐近线 由为垂直渐近线 由非垂直渐近线，选（C） （2）设函数，其中n为正整数，则=（ ） （A） （B） （C） （D） 解析： A 选（A） （3）如果函数在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A）若极限存在，则在（0，0）处可微 （B）若极限存在，则在（0，0）处可微 （C）若在（0，0）处可微，则极限存在 （D）若在（0，0）处可微，则极限存在 解析：(B) 在处可微. （4）设则有（ ） （A） (B) (C) (D) 解析： D 而 (5)设其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ） （A）α1, α2, α3 （B）α1, α2, α 4（C）α1, α3, α4 （D）α2, α3, α4 解析：C ,与成比例. 与+线性相关,线性相关，选C 或 线性相关，选C （6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且.若P=(α1, α2, α3)，则Q-1AQ=( ) (A) (B) (C) (D) 解析：（B） （7）设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P{xy}=( ) (A) (B) (C) (D) 解析：(A) ，. . 独立. . （8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ） (A) 1 (B) (C) (D) 解析：设一段长,另一段 由 ，选项D 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）若函数f(x)满足方程及，则f(x)=_________. 解析： 代入 （10） 解析： . （11） 解析：{1，1，1} （12）设，则_____?. 解析:. （13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵的秩为_________. 解析：2. 设 （14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，则_________. 解析： 解： ，. . 三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上. （15）（本题满分 分） 证明x+cosx1+(-1x1) 证明：令 时. ,，又. ； 时，，,又. . 为在（-1，1）内最小点，而 当-1x1时. ，即 (16)（本题满分 分） 求函数的极值 解析： 由得及 当时， 且，为极小点. 极小值为 当时， 为极大点 极大值为 （17）（本题满分 分） 求幂级数x2n 的收敛域及和函数 解：由得R=1. 当时. 时级数发散.收敛域为（-1,1） 令 = 当x=0时，S(0)=3. 当x≠0时，xS1(x)= （18）(本题满分 分) 已知曲线L：（0t），其中函数f (t)具有连续导数，且f (0)=0，0(0t)，若曲线L的切线与x轴的交点到切点距离值恒为1，求函数f (t)的表达式，并求此曲线L与x轴无边界的区域的面积. 解析： ① 切线为 ,切线与轴交点为. 由题意 $$$$$$$$ ② （19）（本题满分 分） 已知L是第一象限中从点（0，0）沿圆周到点（2，0），再沿圆周到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分 解析： 补充 而 （依据定积分几何意义） （20）（本题满分 分） 已知A= （1）计算行列式|A|； （2）当实数a为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解. 解析： （I） （II）当及时，Ax=有无穷多个解. 当时， = 通解为 当时. 通解为 （21）（本题满分11分） 已知二次型的秩为2， 求实数a的值； 求正交变换x=Qy将f化为标准型. 解析： ATA= 秩为2. ( ) (II)令 由 解 当,由即得. 当时,由. 当时,由. 取= 令 （22）（本题满分11分） 设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求 解析：