线性代数11467.docVIP

中国海洋大学 2010学年 共4页 第 1 页 题号 得分 表示矩阵的转置矩阵，是的代数余子式. 一、填空（18分） 1. 设, 则=___________. 2. 已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则__________. 3. 如果３阶方阵的特征值分别为1，2，，则 . 4.已知均为3阶矩阵，矩阵满足 其中是3阶单位矩阵，则 . 5.已知4元非齐次线性方程组，，又知为 的3个解，且，，则 的全部解为 . 6. 若二次型可经正交线性变换化 为标准型，则 . 授课教师命题教师或命题负责人签字 年 月 日 院系负责人 签字 年 月 日 数学科学 学院 课程试题(A卷) 共 4 页 第 2 页 二、选择题 （24分） 1. 设均为阶实对称矩阵，若存在正交矩阵，使成立. 现有四个命题： ①与合同 ； ②； ③若为正定矩阵，则也是正定矩阵； ④与有相同的特征值和特征向量.以上命题正确的是（ ）. A. ②； B.①②； C.①②③； D.②③④ 2.设 是矩阵，且其列向量组线性无关，是n阶方阵，满足， 则秩 ( ) A. 等于 n B. 小于 n C. 等于1 D. 不能确定. 3.与矩阵不相似的矩阵是( ). A. B. C. D. 4.设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）. (A) 若仅有零解，则有唯一解； (B) 若有非零解，则有无穷多解； (C) 若有无穷多解，则仅有零解； (D) 若有无穷多解，则有非零解。 5.已知与相似，则（ ）. (A) ，(B) ，(C) ，(D) ； 6. 设向量组线性无关，向量组线性相关，则（ ）. (A) 能由线性表示； (B) 能由线性表示； (C) 未必能由线性表示； (D) 以上都不对。 中国海洋大学 2008-2009学年 第学期 共 4 页 第 3 页 7. 已知是方程组的两个不同解，是对应齐次方程组 的基础解系，则的一般解是（ ）. (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 8. 是两个不同的阶方阵，且与相似，则之间可能不同的是（ ） 特征值； (B) 行列式值； (C) 秩； (D) 特征向量. 三、计算 （24分） 1. 设可逆，且，当时，求.（8分） 2. 设是3维向量空间的一组基，求由基到 的过渡矩阵.（8分） 3. 求向量组的 秩及其一个极大线性无关组，并用它们表示其余向量.（8分） 四、证明题 （10分） 若向量组线性相关，线性无关. 证明:1. 可以由线性表示； 2. 不能由线性表示. 五、（12分）用正交变换法把二次型化成标准形，并求的特征值和特征向量、写出正交矩阵和对角矩阵. 数学科学 学院 课程试题(A卷) 共4页 第 4 页 六、（12分） 对于 n元线性方程组 1. 证明：n阶系数矩阵的行列式. 2. 当取何值时，线性方程组有唯一解，并利用(1)的结果求解的第一个分量. 3. 当取何值时，线性方程组有无穷多解，并求解. 填空 （18分） 0； 2. 8 ； 3.10； 4. ； 5. ； 6. 3 二、选择题 1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.A; 6.B; 7.B; 8.D 三、计算 （22分） 1. 解：由，得， 于是。 而， 用求逆矩阵的公式或者初等行变换法，得。 2. 解.设由到的过渡矩阵是，到 的过渡矩阵是，到 的过渡矩阵是， 而，所以； ，即. 由基到的过渡矩阵. 3. 解记 ，则是的列向量组的一个极大线性无关组，也为的列向量组的一个极大线性无关组， 且 . 故秩，为向量组的一个极大线性无关组，且 . 四、（10分）若向量组线性相关，线性无关. 证明: 1) 可以由线性表示； 2）不能由线性表示. 答案 证明：（1）由线性无关知线性无关； 又线性相关，故可以由线性表示 （2）可用反证法，利用1）结果推出矛盾。 五、（12分）二次型的矩阵，所以 得的特征值为和（二重）。 对于，由，即， 得的特征向量，，所有特征向量为是不等于零的数； 将单位化得。 对于，由，即， 得该方程组的基础解系为. 对应的所有特征向量为不同时为零； 用施密特正交化方法，将 先正交化得