不等式总结答案.docVIP

17．（本小题满分12分） 已知函数在与时都取得极值． （1）求的值及函数的单调区间； （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围． 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f(（x）＝3x2＋2ax＋b 由f(（）＝，f(（1）＝3＋2a＋b＝0得 a＝，b＝－2 f(（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x （－(，－） － （－，1） 1 （1，＋(） f(（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ( 极大值 ( 极小值 ( 所以函数f（x）的递增区间是（－(，－）与（1，＋(） 递减区间是（－，1） （2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x(〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c 为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）(c2（x(〔－1，2〕）恒成立，只需c2(f（2）＝2＋c 解得c(－1或c(2 22. 解: f (x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2. (ⅰ)若△=12－8a2=0,即 a=±, 当x∈(－∞,), 或x∈( , +∞)时, f (x)0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数. 所以a=±. (ⅱ)若△=12－8a20, 恒有f (x)0, f(x)在(－∞,+ ∞)为增函数, 所以a2 , 即 a∈(－∞,－ )∪( , +∞) (ⅲ)若△12－8a20,即－ a, 令f (x)=0, 解得 x1=, x2=. 当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+ ∞)时, f (x)0, f(x)为增函数; 当x∈(x1,x2)时 , f (x)0,f(x)为减函数. 依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得a≥,解得 1≤a 由x2≤1得≤3－a, 解得 － a , 从而 a∈[1, ) 综上,a的取值范围为(－∞,－ ]∪[ , +∞) ∪[1, ),即a∈(－∞,－ ]∪[1,∞). ， 令，解得 . （Ⅰ）当时，，在上单调递增 当时，，随的变化情况如下表： 0 + 0 0 极大值 极小值 从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当时，函数没有极值. 当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值. 22．解: （I）当k=0时， f(x)=－3x2+1 ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间[0，+∞)． 当k0时 ， f (x)=3kx2－6x=3kx(x－) ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0] ， [ ， +∞)， 单调减区间为[0， ]． （II）当k=0时， 函数f(x)不存在最小值． 当k0时， 依题意 f()= － +10 ， 即k24 ， 由条件k0， 所以k的取值范围为(2，+∞) , ,显然在上没有零点, 所以 令 得 当 时, 恰有一个零点在上; 当 即 时, 也恰有一个零点在上; 当 在上有两个零点时, 则 或 解得或 因此的取值范围是 或 ; 20．解： （Ⅰ）， 因为函数在及取得极值，则有，． 即 解得，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， ． 当时，； 当时，； 当时，． 所以，当时，取得极大值，又，． 则当时，的最大值为． 因为对于任意的，有恒成立， 所以　， 解得　或， 因此的取值范围为． 21．证明：因为，所以的定义域为． ． 当时，如果在上单调递增； 如果在上单调递减． 所以当，函数没有极值点． 当时， 令， 将（舍去），， 当时，随的变化情况如下表： 0 极小值 从上表可看出， 函数有且只有一个极小值点，极小值为． 当时，随的变化情况如下表： 0 极大值 从上表可看出， 函数有且只有一个极大值点，极大值为． 综上所述， 当时，函数没有极值点； 当时， 若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为． 若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为． 19．解 （1）， ， ． 原不等式的解为． （2）当时，， 对任意，， 为偶函数． 当时，， 取，得 ， ， 函数奇偶函数． Ⅰ）解：当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下