第二章_平面向量基本定理.pptVIP

思悟升华 基础达标 创新题型 版块导航 人教A版必修四·新课标·数学 2．3.1　平面向量基本定理 目标定位 点此进入 点此进入 点此进入 知识预览 自测自评 版块导航 人教A版必修四·新课标·数学 目 标 要 求1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系，体会平面向量定理的含义，了解基底的含义． 2．理解并掌握平面向量基本定理． 3．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.热 点 提 示1.利用平面向量基本定理来表示平面中的向量是本课考查的热点． 2．本课常与立体几何、解析几何、图形结合命题． 3．多以选择题或解答题的形式考查 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ●想一想：设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中有可能为零向量吗？平面向量的基底唯一吗？ 提示：平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量，同一平面的基底可以不同，只要它们不共线． 2．两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个 非零向量a和b，作＝a，＝b，则AOB＝θ，叫做向量a与b的夹角． ①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]． 当θ＝0°时，a与b同向． 当θ＝180°时，a与b反向． ●想一想：零向量与任一非零向量有夹角吗？ 提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零向量的夹角没有什么实际意义．因此如同我们规定零向量与任意向量平行一样，我们同样也认为零向量与任意向量垂直．这使得我们在运算时，要特别注意零向量这一特殊情况． (2)垂直：如果a与b的夹角是90°， 则称a与b垂直，记作ab. 1．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　) A.，　　　　　　　B.， C.， D.， 解析：由于，不共线，则是一组基底． 答案：D 2．若点O是平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于(　　) A. B. C. D. 解析：3e2－2e1＝－＝(＋)＝. 答案：C 3．已知向量a和向量b不共线，且m＋n＝a，m－n＝b，则m＝________，n＝________.(用a、b表示) 解析：解方程组得m＝，n＝. 答案： 　 4．设e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________． 解析：要使ab，因此只需基底对应系数成比例即可，即＝，λ＝－2. 答案：λ＝－2 5．已知G为ABC的重心，设＝a，＝b，试用a、b表示向量. 解：如右图，＝，而＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＝(a＋b)＝a＋b. 对基底概念的理解 【例1】　若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． 思路分析：要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底． 解：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底． 温馨提示：由本例可以得到关于基底的一个结论：设e1，e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0，可用反证法证明． 规 律 归 纳 考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示． 1　e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　) A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1－2e2和4