第2讲 平面向量的基本概念--教师版.docVIP

第二讲 平面向量的基本概念 一、向量的基本概念 思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？ 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。 回答下列问题： .数量与向量有何区别？ .如何表示向量？ .有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ .长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2. 向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母a、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：；向量的大小——长度称为向量的模，记作||。 有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？ 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量与相等，记作=； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量平行，记作。 向量的运算法则 1. 向量的加法 问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？ ①某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：； ②若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和； ③某人从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和。 ⑴向量的加法： 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则： ⑶四边形法则： 练习：化简 2. 向量的减法 探究：1.向量是否有减法？ 2.向量的减法是否与数的减法有类似的法则？ ⑴相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。 ①； ②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：； ③如果是互为相反的向量，则：。 ⑵向量的减法： 向量加上的相反向量，叫做和的差。即 向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。 注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。 例1. 平行四边形ABCD中，，用、表示向量。 例2. 已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、、，试用向量、、表示。 向量的数乘运算 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： ⑴； ⑵当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；特别的，当=0或=时，=。 注意：实数与向量，可以做积，但不可以做加减法，即+，-是无意义的。 实数与向量的积的运算律： 设、为任意向量，为任意实数，则有： ①； ② ③ 例1.计算 ； ； 例2.计算 (1). (2). 结论：向量与非零向量共线，当且仅当有唯一一个实数，是的=。 例3.向量是否共线？ 例4. 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且,你能用表示吗？ 向量运算法则的应用 向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数，恒有。 1. 有关向量共线问题 例1.已知向量满足，求证：向量共线。 例2.已知,试判断是否共线？ 定理的应用： (1).有关向量共线问题； (2).证明三点共线：三点共线； (3).证明两直线平行问题。 例3. 已知任意两个非零向量，试作，你能判断三点间的位置关系吗？为什么？ 例4. 在四边形中，，求证：四边形为梯形。 向量的坐标表示及其运算 在平面直角坐标系内，方向分别于x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量（normalized orthogonal base vector），分别记为和 考虑是平面上任一向量，怎样用基本单位向量、表示呢？ 如图将向量的起点置于坐标原点O，记终点为A，则有。我们将叫做点A的位置向量 如果点A的坐标为(x，y)，那么点A在x轴上的射影点A1的坐标是(x，0)，点A在y轴上的射影点A2的坐标是(0，y)。根据前面的定义，有，。 由向量的平行四边形