几道几何难题.pdfVIP

如图，在正方形ABCD 中，∠MAN=45°，BD 与AM 、AN 交于E、F，M、N 分别是BC、CD 上的点． （1）猜想MB、ND 与MN 有何关系？并证明。 （2 ）△AEN 、△AFM 是什么三角形？并证明。 （3 ）证明：EF²=BE²+FD²； （4 ）设AB=a ，MN=b，则b/a 的取值范围是多少？ 【解析】 （1）MB+ND=MN． 证明：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90 °至△ADM ′， ∵∠M ′AN= ∠DAN+∠MAB=45°，AM ′=AM，BM=DM ′， ∵M ′AN= ∠MAN=45°，AN=AN ， ∴△AMN≌△AM ′N ′， ∴MN=NM ′， ∴M ′N=M ′D+DN=BM+DN， ∴MN=BM+DN． （注：该题也可以用补短去做，方法雷同。） （2 ）△AEN 、△AFM 为等腰直角三角形 证明：在AN 的延长线上取一点G，使得∠AMG=90 ° 连接MG，AC ，作GH ⊥BC 的延长线于点H 易证：△ABM ≌△MGH （AAS ） ∴BM=GH=CH ∴∠GCH=45 °，CG ∥BD ∵BD 平分AC ∴BD 平分AD 即F 为AG 中点 ∴MF⊥AF 又∵∠MAF=45° ∴△AMF 为等腰直角三角形 （3 ）【图形及字幕与原题有差异，不过解题方法相同】 证明：在AM 上截取AN=AE ，连接NF， ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴∠ABD= ∠ADB=45 °， ∵在△BAE 和△DAN 中 AB ＝AD ∠BAE＝∠DAN AE ＝AN ∴△BAE≌△DAN （SAS ）， ∴BE=DN，∠ABE= ∠ADN=45 °=∠ADF ， ∴∠NDF=45°+45 °=90 °， 2 2 2 在Rt△DNF 中，由勾股定理得：ND +DF =NF ， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠NAF=∠NAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-45 °=45 °， ∴∠NAF=∠EAF=45°， 在△NAF 和△EAF 中 AN ＝AE ∠NAF＝∠EAF AF ＝AF ∴△NAF≌△EAF （SAS ）， ∴EF=FN， 2 2 2 ∵ND +DF =NF ，DN=BE， 2 2 2 ∴BE +DF =EF ． （4 ）b/a≥2 -2 当MN∥BD 时，MN 取值最小 如右图： 由勾股定理可知： b²=x²+ x² ∴b= x 又∵b+2x=2a ∴a=x+b/2=x+ x/2 ∴b/a≥ x/(x+ x/2) 化简后得：b/a≥2 -2 1、如图：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是 AD 、BC 的中 点，E 、F 分别是 BM 、CM 的中点 （1 ）求证：四边形MENF 是菱形． （2 ）若四边形MENF 是正方形，请探索梯形 ABCD 的高与底边BC 的数 量关系，并证明你的结论． 解析： （1 ）已知四边形ABCD 为等腰梯形，M 为 AD 的中点 则∠A= ∠D ，AB=DC ，AM=DM ， 在△ABM 与△DCM 中， ∵ AB ＝DC ∠A ＝∠D AM ＝DM ∴△ABM ≌△DCM （SAS ）， ∴MB=MC △MBC 为等腰三角形 N 为 BC 的中点 E 为 BM 的中点， ∴EN 是△MBC 的中位线， 得 EN ∥MC 得△BEN 为等腰三角形，且 EB=EN 又因为 EB=EM 得 EM=EN 同理可证FM=FN MB=MC ME=EB ，MF=FC 得 ME=MF 即四边形MENF 为菱形． （2 ）梯形的高是底边BC 的一半． 证明：∠BMC=90° △ABM ≌△CDM ∴△BMC 是等腰直角三角形 过 M 点作 BC 的高 由等腰三角形三线合一可得 高也是直角三角形斜边（底边）的中线 再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得： 梯形的高是底边 BC 的一半． 2 、如何只用圆规画圆的四等分点（其他工具都不允许使用，比如铅笔、 直尺、量