2015-2016学年高中数学121函数的概念学案新人教A版必修1.docVIP

1．2　函数及其表示 1．2.1　函数的概念 [学习目标]　1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值． [知识链接] 1．在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y＝kx(k≠0)，y＝(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 2．反比例函数y＝(k≠0)在x＝0时无意义． [预习导引] 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域与值域： 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 2．区间概念(a，b为实数，且a＜b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 3.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 4.函数相等 如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等． 要点一　函数概念的应用 例1　设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，x＝2时，对应元素y＝3N，不满足任意性．④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性． 规律方法　1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应． 注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余． 2．函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 跟踪演练1　下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　) A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 答案　B 解析　对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合． 要点二　求函数的定义域 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝－； (2)y＝. 解　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 即 所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x＜0. ∴函数的定义域为{x|x＜0}． 规律方法　1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 2．求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 跟踪演练2　(1)y＝ (2)y＝－＋. 解　(1)由于00无意义， 故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋20，x－2， 所以x－2且x≠－1. 所以函数y＝的定义域为{x|x－2，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，需 解得－≤x2，且x≠0， 所以函数y＝－＋的定义域为 要点三　求函数值 例3　已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f[g(3)]的值． 解　(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝＝. 规律方法　求函数值时，首先要确定出函