2015-2016学年高中数学122第1课时函数的表示法学案新人教A版必修1.docVIP

1.2.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 [学习目标]　1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数． [知识链接] 1．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)． 3．函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)． [预习导引] 函数的表示法 要点一　待定系数法求函数解析式 例1　 (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式； (2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)． 解　 (1)设反比例函数f(x)＝(k≠0)， 则f(3)＝＝－6，解得k＝－18，故f(x)＝－. (2)设一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(1)＝1，f(－1)＝－3， ∴解得∴f(x)＝2x－1. ∴f(3)＝2×3－1＝5. 规律方法　待定系数法求函数解析式的步骤如下： (1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组． (3)解方程或方程组，得到待定系数的值． (4)将所求待定系数的值代回原式． 跟踪演练1　已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式． 解　设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得故f(x)＝x2＋1. 要点二　换元法(或配凑法)求函数解析式 例2　求下列函数的解析式： (1)已知f＝＋，求f(x)； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)． 解　(1)方法一　(换元法)令t＝＝＋1， 则t≠1.把x＝代入f＝＋，得 f(t)＝＋ ＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 方法二　(配凑法)∵f＝＋＝2－＝2－＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1. 又∵＝＋1≠1， ∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)． (2)方法一　(换元法)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二　(配凑法)∵x＋2＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1. 又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 规律方法　1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法．所谓换元法，即将“＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况． 2．配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2”变成含有“＋1”的表达式．这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求． 跟踪演练2　已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________. 答案　x2－4x＋3 解析　方法一　(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 方法二　(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 要点三　作函数的图象 例3　 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))． 解　 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示． (2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示． 规律方法　1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象． 2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点． 跟踪演练3　画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1)． 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)． 1．