对称美在中学数学几何中的应用.docVIP

　　对称美在中学数学几何中的应用 对称美在中学数学几何中的应用 一、数学中的对称美 　　从古希腊起，对称美就是数学美的基本形式之一，对称性是和谐性的一种特殊的表现.对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，对称是广义的，它包括公式的对称、结构的对称、图形的对称、解法的对称等形式和内容上的对称，周期、旋律和节奏等时间上的对称，还有与时空坐标没有关系的更为复杂的对称.数学中对称美的表现形式有以下几种： 　　1.图形对称：如，线段、边数为偶数的正多边形、圆锥曲线、正棱柱（锥、台）； 　　2.数学命题对称：如，逆命题与否命题、真命题与假命题、对偶命题等等； 　　3.数学概念对称：如，积分与微分、乘与除、指数与对数、乘方与开方、交集与并集等等； 　　4.数学形式对称：如，正弦定理、余弦定理、三角函数的诱导公式等等； 　　5.数学方法对称：如，坐标与代数、分析与综合、归纳与演绎等等. 　　二、对称在中学数学几何中的应用 　　1.对称性在几何公式中的应用 　　很多数学公式中都表现出对称性，如，海伦公式S=，其中S= ；正弦定理.数学公式中很多字母地位是平等的，表现出一定的对称性，如，（a+b）2=a2+2ab+b2，在这里字母互相交换位置后公式依然是成立的. 　　2.对称在几何图形中的应用 　　几何图形的对称性是对数学对称思想的最直观、易懂的解释.在几何中，对称大致可以分为点对称、中心对称、轴对称、面对称几类，其中中心对称的图形有平行四边形、正方形；轴对称图形有等腰三角形；而圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它是关于圆心、直径对称的图形；球则最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称图形.又如，《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面、抛物面等这些图形都有明显的对称性，给人以美的享受.正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图形、巧夺天工的建筑，才能给我们带来赏心悦目的自然美、和本文由论文联盟.L.收集整理谐的生活美. 　　3.解决平面几何问题 　　平面解析几何是通过一种代数的方法来研究点与点、点与线、线与线之间的关系. 　　（1）点关于点的对称问题（利用中点坐标） 　　①点（x，y）关于原点（0，0）的对称点为（-x，-y）； 　　②点（x，y）关于点（c，d）的对称点为（2c-x，2d-y）； 　　例1.已知点A（5，8），B（4，7），试求A点关于B点的对称点C的坐标. 　　【略解】C（3，6）. 　　（2）直线关于点的对称问题 　　①直线Ax+By+C=0关于点（a，b）的对称直线为A（2a-x）+B（2b-y）+C=0； 　　②直线Ax+By+C=0关于原点（0，0）的对称直线为A（-x）+B（-y）+C=0.（这是一种特殊情况，可以简便地得出答案） 　　例2.求直线3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线l的方程. 　　【略解】3（22-x）-[2（-1）-y]-4=0整理得3x-y+10=0. 　　（3）点关于直线的对称问题 　　①点A（a，b）关于x轴的对称点为A（a，-b）； 　　②点A（a，b）关于y轴的对称点为A（-a，b）； 　　③点A（a，b）关于直线y=x的对称点为A（b，a）； 　　④点A（a，b）关于直线y=-x的对称点为A（-b，-a）； 　　⑤点A（a，b）关于直线x=m的对称点为A（2m-a，b）； 　　⑥点A（a，b）关于直线y=n的对称点为A（a，2n-b）； 　　⑦点A（a，b）关于直线Ax+By+C=0的对称点为A的求法： 　　例3.求点A（2，2）关于直线2x-4y+9=0的对称点. 　　所以，对称点坐标为（1，4） 　　（4）直线关于直线的对称直线关系 　　①直线Ax+By+C=0关于x轴的对称直线为直线Ax+B（-y）+C=0； 　　②直线Ax+By+C=0关于y轴的对称直线为直线A（-x）+By+C=0； 　　③直线Ax+By+C=0关于直线y=-x的对称直线为直A（-y）+B（-x）+C=0； 　　④直线Ax+By+C=0关于直线y=x的对称直线为直线Ax+By+C=0； 　　⑤直线Ax+By+C=0关于直线x+y+a=0的对称直线为A（-y-a）+B（-x-a）+C=0； 　　⑥直线Ax+By+C=0关于直线x-y+a=0的对称直线为A（y-a）+B（x+a）+C=0； 　　⑦直线l0关于直线l的对称直线l1的一般求法： 　　a.先求出l0与l的交点P，则该交点在直线l1上； 　　b.再用到角公式（其中k0，k，k1分别是l0，l，l1的斜率），求出k的值. 　　例4.已知直线l∶x-y-1=0，l1∶2x-y-2=0.若直线l0与l1关于直线l对称，则l0的方程是（ ） 　　A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 　　C.x+y-1=0