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* * * （一）余子式和代数余子式 §1.6 行列式按行（列）展开 （二）行列式按行（列）展开 定义1：在n阶行列式中划去元素 所在的i行j列，所留下的n-1阶行列式，叫做 的余子式，记作 的代数余子式. 定义2：称 为 （一）余子式和代数余子式 * 例如四阶行列式 第一章 行列式 元 的余子式和代数余子式分别为 第一章 行列式 【引理】一个 阶行列式， 的所有元素除 元 外都为0， 那么这个行列 如果其中第 行 即 等于 与它的代数余子式的乘积， （二）行列式按行（列）展开 证明 （1）首先 （2）下证 得 没有D的i行j列 n阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式的乘积之和，即 定理1 例1 计算四阶行列式 例2 计算n阶行列式 例3 计算n阶行列式 例4 计算2n阶行列式 按第一行展开计算，先将关键几个元素标记出来 例5 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式 证 用数学归纳法 n-1阶范德蒙德行列式 例6 用范德蒙行列式计算行列式 思考题： 中元素 的代数余子式与 均与 取值无关，仅与位置有关. 的值有关系吗？ 定理2 n阶行列式 的任意一行（列）的各元素与另一行（列） 对应的代数余子式的乘积之和为零，即 证 同理 相同 关于代数余子式的重要性质 例7 已知4阶行列式 解 (法1) 直接计算 ，然后相加； ，它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的 乘积之和，故有 (法2) 利用定理2，简化计算． 定理3 ，则 . 第一章 行列式 例8 设 求 的 元 的余子式和代数余子式依次记作 和 ， 及 第一章 行列式 等于 即 用 代替 的第1行所得的行列式， 解 * 第一章 行列式 小结：按行按列展开法则 * *
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