东北大学《线性代数》线代07A答案.docVIP

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 线性代数 试卷： (A) 考试形式： 闭卷 授课专业： 自动化系、计算机系考试日期： 2008 年1月14试卷：共3页 题号 一 二 三 四 总分 得分 阅卷人 一、填空题 （每空3分，共24分） 1、排列的逆序数为 8 2、设，则为 0 3、设为一个阶方阵，若，则 9 4、线性方程组的解空间的维数为 2 5、设三阶方阵， ，且，则 6、线性方程组 有解的充分必要条件是 7、设可逆方阵的一个特征值为3，则的一个特征值为 1 8、所对应的实对称阵 二、选择题：（每题4分，共28分） 1、已知，则中的系数是 【 D 】 （A）、； （B）、； （C）、； （D）、 2、对任意的阶方阵，下列正确的是 【 D 】 (A) (B) (C) (D) 3、设矩阵的秩，为阶单位阵，则下列正确的是 【 D 】 （A）的任意个列向量组线性无关； （B）的任意一个阶子式不等于零； （C） 通过初等行变换必可化为的形式；（D）方程组一定有无穷多组解. 4、若向量组线性无关，线性相关，则 【 C 】 （A）必可由线性表示； （B）必可由线性表示；； （C）必可由线性表示； （D）必不可由线性表示； 5、阶方阵可逆的充要条件是 【 C 】 （A）的所有列向量都不是零向量； （B）的所有行向量都不是零向量； （C）只有时，方程组成立； （D）方程组有解 6、设A,B均为n阶可逆矩阵，若 ，则为 【 D 】 （A）（B） （C） （D） 7、二次型是正定的，则满足 【 B 】 （A） （B） （C） （D） 三、计算题（43分） 1、（6分）计算阶行列式 解 ------------------------------------------------2分 -------------------5分 ----------------------------------------------------------6分 2、（7分）求解矩阵方程，其中 解：由已知, 可逆--------3分 --------------------------------------6分 --------------------------------8分 3、（8分）设向量组的秩为2，求 解：对应元素不成比例，故线性无关，的秩为2。----------2分 ，的秩为2，故线性相关---------------4分 所以， 则 ------------------------------------8分 4、（10分）求为何值时，方程组有解，并求通解. 解 ----------3分 当时，方程组有解。-------------------------------------4分 此时--------------5分 即 ------------7分 从而通解为------10分 5、（12分）求正交变换，将二次型化为标准型 解 --------------------------------2分 则 即得特征值为------------------------------5分 属于特征值的特征向量分别为 特征值为------------------------8分 这三个特征向量互相正交，再单位化得 --------------------------10分 故所用的正交变换矩阵为 -------------------------------------12分 四、证明题（5分）设为正交阵且，证明不可逆. 证明 由为正交阵得，-------1分 则 即------------5分 - 1 - 学 号