东北大学《线性代数》线代07B答案.docVIP

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 线性代数 试卷： (B) 考试形式： 闭卷 授课专业：自动化、计工 考试日期： 2008 年1月14日 试卷：共3页 题号 一 二 三 四 总分 得分 阅卷人 一、填空题 （每空3分，共21分） 1、三阶行列式中含有因子的项为 3、设为一个4阶方阵，若，则= 0 5、线性方程组的解空间的维数为 2 6、设三阶方阵的特征值为1，-1，2，则的特征值为 -2，2，-1 7、实对称阵对应的二次型为 二、选择题：（每题3分，共21分） 1、设A,B均为n阶可逆矩阵，若 ，则为 （ C ） （A）（B） （C） （D） 2、设均为阶方阵，则下列正确的是 （ D ） （A）若都是对陈阵，则也是对陈阵;（B）若且，则; （C）若是奇异阵，则都是奇异阵; （D）若是可逆阵，则都是可逆阵. 3、设矩阵，则下列结论不正确的为 （ B ） （A）; （B） 矩阵与等价; （C）矩阵的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示； （D）矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表示. 6、设为阶方阵，且与相似， 为阶单位阵，则 （ D ） （A）； （B）与具有相同的特征值和特征向量； （C）与相似于同一个对角阵； （D）对任意的常数，与相似. 7、二次型是正定的，则满足 （ C ） （A） （B） （C） （D） 三、计算题 （36分） 1、（5分）计算阶行列式 解： ---------------------------------5分 2、（10分）已知向量组，及向量，求 （1）为何值时，可由向量组线性表示. （2）为何值时，不能由向量组线性表示，并求向量组，的一个最大无关组. 解：（1）设有数，使， 即 ---------------------------------------- 3分 故当 时，可由向量组线性表示.-----------------------------7分 （2）由（1）知，当 时，不可由向量组线性表示，且 及均为向量组，的一个最大无关组.-----10分 3、（11分）设且,求矩阵. 解：由已知得则可逆.-------3分 -----------8分 故----------------------------------------11分 4、（10分）求非齐次线性方程组的通解. 解：-----------------------------5分 令得. 通解为 ---------------------10分 四.（22分）综合题 1、（16分）用正交变换将下面二次型标准化 解：二次型的矩阵为-------------------------------------2分 故得特征值为，---------------------------------------5分 当时，解方程组. 由--------------------------------7分 的基础解系为：，----------------------------------8分 正交化得：------------------------------------------10分 单位化得：，-----------------------------------------------------11分 当时，解方程组， --------------------------------------------------13分 的基础解系为，单位化得--------------------------------------------14 则正交变换为，其中，------------------------------------------------15分 且 ----------------------------------------------------------------------16分 2、（6分）设为正交阵且，证明不可逆. 证明：因为为正交阵，故有-------------------------------------