东北大学《线性代数》2011-2012第一学期线代A答案.docVIP

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 线性代数答案 试卷： (A) 考试形式： 闭卷 授课专业：电信、自动化、 考试日期：2012年 1月 5日 试卷：共3页 题号 一 二 三 四 总分 得分 阅卷人 一、填空题 （每空3分，共21分） 1、设，则方程的根为 2、3、4 2、设为一个4阶方阵，若，则 3、设，则 4、设向量组线性无关，若 也线性无关，则参数满足的条件是. 5、线性方程组的基础解系中含 3 个解向量 . 6、已知矩阵A的三个特征值为则 7、的秩为 二、选择题：（每题3分，共21分） 1、设A,B,C均为n阶矩阵，则下列结论不正确的是 【 D 】 （A）若ABC=E,则A,B,C都可逆 （B）若AB=AC ,且A可逆，则B=C （C）若AB=AC ,且A可逆，则BA=CA （D）若AB=O ,且A≠O，则B=O 2、设A为三阶矩阵，是A的第j列（j=1,2,3），矩阵， 若 【 B 】 （A） 16 （B） 12 （C）10 （D） 7 3、对于任意的实数，线性无关的向量组是 【 C 】 (A) (B) (C) (D) 4、设A为一个矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有 【 D 】 （A）如果则有非零解； （B）如果A的秩则有非零解； （C）如果A有n阶子式不为零，则有唯一解； （D）如果A有n阶子式不为零，则只有零解 5、设A为n阶实对称阵，则 【 C 】 (A) (B) (C) (D) 6、二次型是正定的，则满足 【 C 】 （A） （B） （C） （D） 7、设A，B均为n阶矩阵，并且A与B相似，则下列结论不正确的是 【 A 】 (A) A与B有相同的特征值和特征向量 (B) (C) A的秩等于B的秩 (D) 相似 三、计算题 （36分） 1、（6分）计算n阶行列式 解：-----6分 2、（10分）设且,求矩阵X. 解：由已知,A-E可逆--------3分 --------------------------------------8分 --------------------------------10分 3、（14分）设向量 求 （1）为何值时， 不能由线性表示？ （2）为何值时， 能由线性表示？并写出表示式. 解：设有数使得 即得 线性方程组------------------------------4分 -------------------------8分 当不能由线性表示 当时，可由唯一线性表示，---11分 当时，可由线性表示，且表示法不唯一， -------------------------- ----14分 4、（6分）已知矩阵，如果A与B相似，求的值. 解： 由于A与B相似，故，-------------------------------2分 即 比较多项式系数 ------------------------------------------------------6分 四.（22分）综合题 1、（16分）用正交变换将二次型 化为标准型，并求所用的变换. 解：二次型的矩阵为-------------------------------------------------2分 ， 故得特征值为----------------------------------------------------------5分 当时，由 解得 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量 单位化得-----------------10分 当时,由 解得 单位化 得正交阵----------15分 二次型的标准型为所用正交变换为---------------------------------16分 2、（6分）设n阶方阵A，B满足关系证明： 不可逆. 证明：---------2分 ----------------------------