东北大学《线性代数》20052线性代数A卷答案.docVIP

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 线性代数（答案） 试卷： (A) 考试形式：闭卷 授课专业：商贸、管理、经济系各专业考试日期：2006年7月 日试卷：共2页 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 阅卷人 一、选择题（每题4分，共24分） 1、设A是n阶矩阵，k是非零常数，则|kA|=（ B ） （A） （B） （C） （D） 2、设是矩阵，是矩阵，是矩阵，则下列运算中无意义的是 （ C ） （A） （B） （C） （D） 3、设是方阵，则是可逆的 （ C ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件秩 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件 4、对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组()和齐次线性方程组,下列说法中正确的是(D ) （A） 无非零解时,无解 （B） 有无穷多解时,有无穷多解 （C）无解时,无非零解 （D） 有唯一解时,只有零解 5、设向量组中, 线性无关,则该向量组的秩满足( A ) （A） （B） （C） （D） 6、矩阵的特征值是（ C ） （A） 1,1,0 （B） 1,-1,-2 （C） 1,-1,2 （D） 1,1,2 二、填空题（每题4分，共24分） 1、按自然数从小到大为标准次序，则排列4132的逆序数为 4 2、 23 ； 3、若将A通过有限次初等变换变成B，则 = 4、若10阶方阵A的行列式，则 5、设，，则当 2 时，齐次线性方程组有非零解。 6、设A是n阶方阵，若,则的基础解系所含向量个数是 5 。 三、计算题（每题8分，共16分） 1、计算 解： =------------------5分 ＝ = -----------------------------------------3分 2、求解矩阵方程。 解: ----------------3分 --------------3分 -------------------------2分 四、（8分）求解非齐次线性方程组； 解：增广矩阵 -----4分 ，基础解系的个数。 方程组的通解为---------4分 五、（8分）求向量组 的秩，并求一个最大线性无关组。 解：--------5分 ---------------------1分 或或是一个最大无关组。----------------2分（答出一个即给分） 六、（12分）求一个正交变换，把二次型化为标准型 解：二次型的矩阵为----------------------------2分 令------2分 得的特征值为----------------------------2分 当时，解方程得基础解系 单位化得-----------------1分 当时，解方程得基础解系 单位化得--------------1分 当时，解方程得基础解系 单位化得-----------1分 于是正交变换为----------1分 且有-------------------------------2分 七、（8分）证明题：设向量组线性无关，证明线性无关。 证明：设存在一组数使得 ，（2分） 又向量组线性无关， 因此，（3分） 由此可知，只有当时， 等式才成立， 即向量组线性无关。（3分） - 3 - 学 号 班 级 姓 名 装 订 线 内 不 要 答 题 装 订 线