东北大学《线性代数》2011年1月线代试题A答案.docVIP

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 线性代数 试卷： (A)答案 考试形式： 闭卷 授课专业：电信、自动化、材料等系各专业 考试日期： 2011年1月7日 试卷：共2页 题号 一 二 三 四 总分 得分 阅卷人 一、填空题 （每空4分，共24分） 1、四阶方阵的行列式中含的项的符号是 正号 2、设为一个三阶方阵,且,,,则= 3 3、设矩阵，则的秩为___1____ 4、设向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组 的 最大线性无关组是 5、设矩阵可相似对角化，则 3 6、二次型是正定的，则的范围 二、选择题：（每题3分，共21分） 1、已知，则中的系数是 ( B ) A. B. C. D. 2、设为矩阵,为矩阵,为阶单位矩阵.若,则 ( B ) A. 秩,秩 B. 秩,秩 C. 秩,秩 D. 秩,秩 3、对任意的阶方阵总有 ( C ) A. B. C. D. 4、下列说法与方程组有解不等价的是 ( C ) A. B.可以由矩阵的列向量组线性表示 C.可以由矩阵的行向量组线性表示 D.矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价 5、线性无关，又, 则 ( C ) A. 秩为 B. 秩为 C. 线性无关 D. 线性相关 6、设是非的三个不同的解???????????????????D??????? A. B. C. D. 7、设阶方阵的元素全为1，则的非零特征值为 ( A ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、计算题 （35分） 1、（6分）计算阶行列式 解：第列乘以加到第一列，得 ----- 3分 -------------6分 2、（7分）设，求解. 解：采取初等行变换 5分 --------7分 3、(10分)求向量组，,， 的一个最大无关组，并把其余向量用所求出的最大无关组线性表示. 解：-----4分 所以即为最大无关组；------6分 ，-----7分 所以 ------------10分 4、(12分)设方程组 有两个不同的解， （1）求；（2）求方程组的通解. 解：(1)因为方程组有两个不同的解，所以，所以 ------------------3分 当时，方程组的增广矩阵，所以无解 ---------5分 当时，方程组的增广矩阵，所以时无解，6分，当时，有解，所以，所以，--8分 所以方程组的解为 ----------12分 四.(20分)综合题 1、（14分）用正交变换将下面二次型标准化： 解：二次型对应的矩阵为， -----2分 ，所以，-----5分 当时，对应的特征向量， 当时，对应的特征向量 -----8分 正交化：令 单位化：，， ------12分 所以令， 令，得二次型的标准型 ----14分 2、(6分)设为维线性无关的列向量，定义,证明： (1) ;(2) 齐次线性方程组的解与正交；(3)秩. 证明：(1) ，所以成立 ---2分 (2) 对于方程组的解，,因为线性无关，所以 ，所以正交 -------4分 (3)根据(2)结论，任意与同时正交的向量，都是方程组的解.在维空间中可以找到个与线性无关的向量，记为， 将这个向量正交化为 ，则后个向量都是方程组的解，并且线性无关，所以构成 方程组的基解系，所以解空间的秩为，所以的秩为2 ---------6分 - 2 - 学 号 班 级 姓 名 装 订 线 内 不 要 答 题 装 订 线 班 级 姓 名 学 号 装 订 线 内 不 要 答 题