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* * * * * * * * * * * * Hamming distance between x and y is count of positions where x-bit differs from y-bit Also equals link count in shortest path from x to y n-cubes and Distance 0-cube 1-cube 2-cube 0 1 10 00 11 01 3-cube 110 010 111 011 100 000 101 001 4-cube * * Gray code is path that visits each vertex exactly once 3-cube 110 010 111 011 100 000 101 001 4-cube * * Example: N=3 L = {000,111} 000 111 100 010 001 101 110 011 * 奇偶校验码 在每组数据信息上附加一位奇偶校验位，若采用奇校验方式，则使包括校验码在内的数据含有奇数个“1”；偶校验方式，则使包括校验码在内的数据含有偶数个“1”。 例：字母“E”的7位ASCII码为： 1 0 0 0 1 0 1，若在最高位增加一位奇偶校验位，其奇校验编码则为0 1 0 0 0 1 0 1；其偶校验编码则为1 1 0 0 0 1 0 1。 * 工作原理 奇偶检验码的工作原理如下图所示。 检 测 器 编码器 x1 x2 x3 x4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 F发现错误 P(奇) 发送端 接收端 * 特点: (1) 编码简单、容易实现 ； (2) 奇偶检验码只有检错能力，没有纠错能力 ； (3) 只能发现单错，不能发现双错 。 * * The Idea of Hamming Code Code space contains 2N possible N-bit code words: 1010”A” HD = 1 HD = 1 HD = 1 HD = 1 1110”E” 1011”B” 1000”8” 0010”2” 1-bit error in “A” Error not correctable. Reason: No redundancy. Hamming’s idea: Increase HD between valid code words. N = 4 Code Symbol 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F * * Hamming’s Distance ≥ 3 Code 1010010 ”A” 1-bit error in “A” shortest distance decoding eliminates error HD = 2 HD = 1 0010101 ”2” 1000111 ”8” 1011001 ”B” 1110100 ”E” HD = 3 HD = 3 HD = 3 HD = 4 0010010 ”?” HD = 3 HD = 4 HD = 4 0011110 ”3” * * Example: correct one bit errors or detect two-bit errors Error-correcting codes minimum distance between code words 1 * * 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Group 8 Group 1 Group 2 Group 4 （15,11）汉明码 11位信息位，4位校验位 分组 15 1111 14 1110 13 1101 12 1100 11 1011 10 1010 9 1001 8 1000 7 0111 6 0110 5 0101 4 0100 3 0011 2 0010 1 0001 1000 0100 0010 0001 * * Note: Single bit error corrupts one or more parity groups Two-bit error in locations x, y corrupts at least one parity group Three-bit error (i.e. 1, 4, 5) goes undetected 3
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