〔教案〕第一讲平面、空间两条直线.docVIP

第一讲 平面、空间两条直线 ●知识梳理 1.平面的基本性质，即三个公理及推论. 1）公理1：如果一条直线上两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这条直线上。 公理1的作用： ①它是用直线鉴别平面的方法。 ②它是证明直线在平面内的重要依据。 2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理2的作用： ①它是辨别两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过交点。 ③它是判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 3）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线有切只有一个平面。 公理3及推论的作用： ①它是在空间中确定平面的依据。 ②它是证明两平面重合的依据。 ③它为立体几何问题转化成平面几何问题提供了理论依据和具体方法。 2.公理4及等角定理. 公理4：平行于同一直线的两直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。 3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面. 4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点。 ●点击双基 1.若a，b是异面直线，则只需具备的条件是 A.a平面α，b平面α，a与b不平行 B.a平面α，b平面β，α∩β=l，a与b无公共点 C.a∥直线c，b∩c=A，b与a不相交 D.a⊥平面α，b 是α的一条斜线 答案：C 2.如下图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：在a、b所确定的平面内有一条，平面外有两条. 答案：C 3.（2004年北京朝阳区模拟题）如图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是 A. B. C. D. 解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，∴∠BDE就是BD与SA所成的角.设SA=a，则BD=BE= a，DE= a，cos∠BDE== . 答案：C 4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a， 那么 （1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线？______________________. （2）直线BA1与CC1所成角的大小为________. （3）直线BA1与B1C所成角的大小为________. （4）异面直线BC与AA1的距离为________. （5）异面直线BA1与CC1的距离是________. 答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45° （3）60° （4）a （5）a 5.（2002年全国）正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是_____________. 解析：连结FE1、FD，则由正六棱柱相关性质可得FE1∥BC1， 在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°， ∴FD==. 在△EFE1和△EE1D中，易得E1F=E1D==，∴△E1FD是等边三角形， ∠FE1D=60°.而∠FE1D即为E1D与BC1所成的角. 答案：60° 说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法. ●典例剖析 【例1】 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3. 求证：EF、GH、BD交于一点. 证明：连结GE、HF， ∵E、G分别为BC、AB的中点， ∴GE∥AC. 又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3， ∴HF∥AC.∴GE∥HF. 故G、E、F、H四点共面. 又∵EF与GH不能平行， ∴EF与GH相交，设交点为O. 则O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点. 评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线. 【例2】 A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线； （2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角. （1）证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与B