2016新课标三维人教B版数学选修4–41.5柱坐标系和球坐标系.docVIP

_1.5柱坐标系和球坐标系 柱 坐 标 系 [读教材·填要点] 1．柱坐标系的概念 设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ2π，z为任意实数． 2．直角坐标与柱坐标的转化 空间点M的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 [小问题·大思维] 1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？ 提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标． 2．在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？ 提示：在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx坐标面成θ0角的半平面． 将直角坐标化为柱坐标 [例1]　已知空间点M的直角坐标为(4，4,3)，求它的柱坐标． [思路点拨]　本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决． [精解详析]　由公式 得ρ2＝x2＋y2，z＝3. ρ2＝(4)2＋(4)2＝48＋16＝64. ρ＝8. tan θ＝＝＝，又x0，y0，点在第一象限， θ＝. 点M的柱坐标为. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ，尤其是θ.要注意求出tan θ，还要根据点M所在的象限确定θ的值(θ的范围是[0,2π))． 1．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为(　　) A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：选C　ρ＝＝2，tan θ＝＝， 点M的柱坐标为. 将柱坐标化为直角坐标 [例2]　已知点M的柱坐标为，求它的直角坐标． [思路点拨]　本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可． [精解详析]　M点的柱坐标为， ρ＝8，θ＝. 由公式得即 M点的直角坐标为(4，4,4)． 已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式即可． 2．已知点M的柱坐标为(，，1)，求M关于原点O对称的点的柱坐标． 解：M的直角坐标为 M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，ρ＝. tan θ＝＝1，又x＜0，y＜0， θ＝. 其柱坐标为. M关于原点O对称的点的柱坐标为. 柱坐标系的应用 [例3]　给定一个底面半径为2，高为2的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标． [思路点拨]　本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法．解答本题需要建立恰当的柱坐标系，然后根据柱坐标的定义解决相关问题． [精解详析]　以圆柱底面圆的圆心为原点，取两条互相垂直的直线为x轴，y轴，以向上的中轴线为z轴正方向建立柱坐标系． 下底面上的点的柱坐标满足(ρ1，θ1,0)，其中0≤ρ1≤2，0≤θ1＜2π. 上底面上的点的柱坐标满足(ρ2，θ2,2)，其中0≤ρ2≤2，0≤θ2＜2π. 侧面上的点的柱坐标满足(2，θ3，z)，其中0≤θ3＜2π，0≤z≤2. (1)柱坐标系是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的． (2)解决此类问题的关键是找出这些点所具有的共性和变化的特征． 3．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系．求点A的柱坐标． 解：以圆形体育场中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置． 点A的柱坐标为. 一、选择题 1．点M的柱坐标为，转换为直角坐标为(　　) A．(5,8,8)　　　　　　B．(8,8，5) C．(8，8,5) D．(4,8，5) 解析：选B　由公式得 即M点的直角坐标为(8,8，5)． 2．已知点M的直角坐标为(3,3,3)，则它的柱坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由公式得 ρ2＝32＋32＝18.ρ＝3. cos θ＝，sin θ＝. 又θ∈[0,2π)， θ＝. M点的柱坐标为. 3．在柱坐标