2相平面分析要点.pptVIP

第一部分 非线性系统分析 * 理论分析是探讨系统特征最经济的方法 仿真必须有理论指导.盲目的仿真很可能是误导 非线性控制器的设计以分析为基础,当控制器的工作不能满足要求时给出改进的导向 没有适用于所有非线性控制系统分析的通用技术 * 1.相平面分析 分析二阶非线性系统的图形方法 在相平面上给出一族系统的运动轨线（不足之处？） 2. Lyapunov方法 直接方法：构造一个类似能量的lyapunov函数，考查其是否单调衰减（可用于时变的、时不变的、有穷维的、无穷维的等一切系统） 间接方法：在平衡点附近进行线性化近似 （不足之处？） 3. 描述函数 用线性“等价系统”去逼近非线性系统的非线性成分，然后用频域法去研究近似系统 可用来分析高阶系统 （不足之处？） * 第二章 相平面分析 19世纪末由法国数学家Henri Poincare等确立 思想：在二维的相平面上，画出对应于不同初值的运动轨线，然后研究轨线的定性特性。 优点： 图解法，不必求解非线性方程 不局限于小的和光滑的非线性，对强的、“硬的”非线性同样有效 一些实际控制系统可以用二阶系统有效逼近 * 本章内容 相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析 * 2.1 基本概念 相图 相平面法研究如下形式的二阶自治系统 相平面就是以 为坐标的平面 可看作相平面的一条几何曲线，称为相平面轨线 * 例：质量-弹簧系统的相图 描述质量-弹簧系统的动态方程： 解为 消去时间t，得到轨线方程 结论：在相图中，不同初值对应的系统特性展露无遗。系统轨线既不趋于0，也不趋于无穷，因此处于临界稳定状态。 * 单变量二阶系统： 变量替换，化为状态空间下表示为 以x1 x2 为坐标的相平面 相平面法也可用于一阶系统分析: * 奇异点（平衡点） 结合 得到 线性系统通常只有一个奇异点， 非线性系统有多个孤立的奇异点。 例：系统 结论：该系统两个奇异点；奇异点处相轨线相交 * 相图的对称性(斜率大小相同,符号相反) 例：质量-弹簧系统 因此相图关于 都对称 * 相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析 本章内容 * 2.2 构造相图 现在相图一般由计算机程序生成。但是，快速勾画相图以及快速检验计算机产生相图的概貌，仍然十分有用。 构造相轨线的方法有：解析法、等斜线法、三角法、Lienard方法等 * 1. 解析方法 方法1 ：从 中解出时间函数 然后从 中消去t。参考质量-弹簧系统 方法2 ：直接消去时间变量t，得到 然后从中解出 的关系 例如，对质量-弹簧系统 可写成 积分后同样得到 * 多数非线性系统难以用解析方法求解。但是对分段线性的非线性函数，这种方法很有效。 例:卫星控制系统 控制系统的目的是通过调节推进器产生的力矩u来保持卫星天线的角度为0 卫星的数学模型是 先考虑正力矩U的情况， 积分得， 当力矩为-U时， * 将图2.5b的左半平面和2.5c的右半平面（？）合并，得闭环控制系统的完整相图 * 2. 等斜率法 系统 的斜率由 确定 因此，等斜率轨线定义为 等斜率法的两个步骤: 1. 得到轨线的切线场 ； 2. 根据切线场的方向得到平面相轨线 该曲线上点具有相同斜率 * 以质量-弹簧系统为例，用等斜率法绘出相图。 第一步，等斜率方程为 轨线的斜率为 令\alpha取不同的值，可以得到不同的等斜率线 第二步，将切向量场描述的短线段连接起来，得到轨线。 * 用等斜率法，绘范德波尔方程的相图 等斜率方程为 因此，曲线 上的点斜率相同 取不同的\alpha，得到不同的等斜率线。绘出向量场及相轨线如图 * ！在相平面上 轴的单位应取成相同的， 这样导数 才能表示真正的几何斜率 ！在斜率变化快的区域，要多画几条等斜率线，这样才能保证足够精度。 * 相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析 本章内容 * 2.3 线性系统的相平面分析 每一个非线性系统的性态在平衡点附近与线性系统近似 线性二阶系统一般形式 在形式上，等价于 该系统的解为 * 根据a,b的不同，线性系统在唯一的 奇异点附近有完全不同的性态： 同为负实数 1.（节点） 同为正实数 为反号实数 2.（鞍点） 负实部的共轭复数 3.（焦点） 为零实部共轭复数 4.（中心点） 为正实部的共轭复数 * 相图基本概念 相图的构造 线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析 本章内容 * 2.4 非线性系统的相平面分析 非线性系统的相平面分析依赖于线性系统。因为非线性系统平衡点附近的局部性态可以用线性系统逼近 左图在平衡点(0,0)处对应于线性系统稳定的焦点，平衡点(-3,0)处对应于鞍点 * 极限环（例：范德波尔方程） 相平面上，一个孤立的闭