解析几何解答题专题练习作业2含答案.docVIP

解析几何专练·作业(三十二) 1．(本小题满分13分) 已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程． 解析　(1)由题意可知e＝＝， 又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.(2分) 因为椭圆C经过点(1，)，所以＋＝1. 解得a2＝4，所以b2＝3. 故椭圆C的方程为＋＝1.(4分) (2)方法一　由(1)知F1(－1,0)， 当直线lx轴时，A(－1，－)，B(－1，)或A(－1，)，B(－1，－)， SAOB＝×|AB|×|OF1|＝×3×1＝，不符合题意．(6分) 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)， 由消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0. 显然Δ0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝.(7分) 又|AB|＝|x1－x2|·＝·＝·， 即|AB|＝·＝.(8分) 又圆O的半径r＝＝， 所以SAOB＝×|AB|×r＝××＝＝.(10分) 化简，得17k4＋k2－18＝0，即(k2－1)(17k2＋18)＝0. 解得k2＝1或k2＝－(舍去)，所以r＝＝. 故圆O的方程为x2＋y2＝.(13分) 方法二　设直线l的方程为x＝ty－1， 由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0. 显然Δ0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝－.(7分) 所以|y1－y2|＝＝＝. 所以SAOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝. 化简，得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0. 解得t2＝1或t2＝－(舍去)． 又圆O的半径r＝＝，所以r＝. 故圆O的方程为x2＋y2＝.(13分) 2．(本小题满分13分) 已知椭圆E：＋＝1(ab0)过点(，1)，离心率为. (1)若A是椭圆E的上顶点，F1，F2分别是左、右焦点，直线AF1，AF2分别交椭圆于B，C两点，直线BO交AC于点D，求证：SABD∶S△ABC＝35； (2)若A1，A2分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足MA2A1A2，且MA1交椭圆E于点P，求证：·为定值． 解析　 (1)由题意 得 且c2＝a2－b2， 解得 所以椭圆E的方程为＋＝1.(2分) 所以A(0，)，F1(－，0)，F2(，0)． 所以直线AB：y＝x＋，直线AC：y＝－x＋. 将y＝x＋代入椭圆方程可得3x2＋4x＝0， 所以B(－，－)． 同理可得C(，－)．(4分) 所以直线OB：y＝x. 联立得交点D(，)．(6分) 所以|AD|＝，|AC|＝，即|AD||AC|＝35. 所以SABD∶S△ABC＝35.(7分) (2)由(1)知椭圆E的标准方程为＋＝1， 设M(2，y0)，P(x1，y1)， 易知直线MA1的方程为y＝x＋， 代入椭圆＋＝1，得(1＋)x2＋x＋－4＝0. 所以－2x1＝，解得x1＝.(10分) 从而y1＝， 所以·＝(，)·(2，y0)＝＋＝4，即·为定值．(13分) 3．(本小题满分14分) 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x－y－2＝0的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)已知A，B是抛物线C上的两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为M，设线段AB的中点为N，证明：存在λR，使得＝λ； (3)在(2)的条件下，若抛物线C的切线BM与y轴交于点R，A，B两点的连线过点F，试求ABR面积的最小值． 解析　(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy(c0)，则＝，解得c＝1，抛物线C的方程为x2＝4y.(3分) (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由y′＝x，得直线AM的斜率kAM＝x1. 直线BM的斜率kBM＝x2， 直线AM的方程为y－y1＝x1(x－x1)，　 直线BM的方程为y－y2＝x2(x－x2)．　 由得y2－y1＝x1(x－x1)－x2(x－x2)＝(x1－x2)x＋x－x. A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y＝x2上， x－x＝(x1－x2)x＋x－x. x＝(x1＋x2)．(6分) 即点M的横坐标x＝(x1＋x2)． 又点N的横坐标也为， MN∥y轴，即与共线． 存在λR，使得＝λ.(8分) (3)设点B的坐标为(t，)(t≠0)，则切线BM的方程为y－＝(x－t)，可得R的坐标为(0，－)． 直线BA的方程为y＝x＋1，由可得点A的坐标为(－，)． S△ABR＝|FR|·|xB－xA|＝|1＋|·|t＋|＝|t3＋2t＋|.(11分) |t3＋2t＋|是关于t的偶