直线与方程知识点总结.docVIP

直线与方程知识点总结 一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向. 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为. 倾斜角的范围. ； （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。 ②经过两点（）的直线的斜率公式是（） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。 2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。 特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线斜率存在，设为，则 注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，为斜率 不包括垂直于x轴的直线 斜截式 为斜率，是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线 一般式 ，，为系数 无限制，可表示任何位置的直线 注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若，直线垂直于x轴，方程为； 若，直线垂直于y轴，方程为； （3）若，直线方程可用两点式表示） 2、线段的中点坐标公式 若两点，且线段的中点的坐标为，则 3. 过定点的直线系 ①斜率为且过定点的直线系方程为； ②过两条直线, 的交点的直线系方程为（为参数），其中直线l2不在直线系中. 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是, 两条直线的交点坐标就是方程组的解， 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离 平面上的两点间的距离公式 特别地，原点与任一点的距离 （2）点到直线的距离 点到直线的距离 （3）两条平行线间的距离 两条平行线, 间的距离 （注意： 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。） 补充： 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2、利用斜率证明三点共线的方法： 已知若，则有A、B、C三点共线。 注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 两条直线位置关系的判定： 已知 , ，则： （2） （3） （4）与相交 如果时，则： (1) (2)； (3)与重合 (4)与相交 4. 有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称 ①若点及关于对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称 ①点关于直线的对称 若两点与关于直线对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组 可得到点关于对称的点的坐标（其中） ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。 注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：换，换. 例：曲线关于直线对称曲线方程是 ②曲线关于点的对称曲线方程是 5. 两条直线的交角 ①直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ②两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 直线上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： 在直线上求一点P，使取得最小值， 若点位于直线的同侧时，作点（或点）关于的对称点或, 若点位于直线的异侧时，连接交于点，则为所求点。 可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的