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对2007年上海市各区中考模拟卷及中考卷压轴题的分析 上海市光明初级中学 刘颖颋 今年的中考已经结束，对历年来各区及上海市中考卷中的压轴题的分析时发现，有很多压轴题都有自己的数学背景。我们老师若对这些背景了解得清楚一些，将对今后的教学有一定的帮助。 背景1。一个直角三角板的直角顶点放在等腰直角三角形ABC的斜边的中点M处旋转，让两直角边与等腰直角三角形的两直角边交于E、F两点。观察图形，会得到哪些结论？ △CFM≌△AEM；△CEM≌△BFM； ME＝MF；△MEF是等腰直角三角形； △CFM∽△AEM∽△FDM∽△CDE；△CEM∽△BFM∽△EDM∽△CDF； ；；·· 以后我们遇上“直角对直角，并且直角与直角的顶点的连线平分一个直角”。我们一定要“过没有被平分的直角顶点作连线的垂线，补全图形再继续分析” 上海市2002年中考压轴题：正方形ABCD的对角线AC上有一点P，连接BP，作PE⊥BP，PE交CD于E，EF∥BC交AB于F，已知AB＝10。 求证：△PBE是等腰直角三角形。 设AP＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围； 点P在变化过程中，是否有可能出现△PBE与正方形ABCD的面积比为3∶8？如有可能求出x和y的值，如不可能，请说出理由。 点P在变化过程中，是否有可能出现△PCE为等腰三角形，如果可能请指出所有可能使△PCE为等腰三角形的点E的位置，并指出相应的x的值，如不可能，请说出理由。 2004年四川凉山中考压轴题： 如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直径的⊙M过原点O，垂直于x轴的直线MP与⊙M的下半圆交于点P。（i）求点B关于直线MP对称的点C的坐标；若直线MP的解析式是，求过P、B、C三点的抛物线解析式；抛物线上是否存在点E，使∠EOP＝？若有求坐标，若无说明理由。 2007年长宁区初三模拟试卷的压轴题：已知,,取含角的直角三角尺,将的顶点放在BC中点O处,并绕点O处顺时针旋转三角尺,当角的两边分别与AB、AC交于点E、F 是,如图13,设. (1)求与的函数解析式,并写出的范围; (2) 三角尺绕点O旋转过程中,能否成为等腰三角形.如果能,求出相应的值;如果不能,请说明理由; (3)如果以O为圆心的圆与AB相切,探究三角尺绕点O旋转的过程中,EF与圆O的位置关系. 背景2。一个角的顶点放在等边三角形的BC边的中点M处旋转，与另外两边分别交于E、F两点。观察图形，会得到哪些结论？将这些结论与背景1的结论联系起来看，还会有什么发现或说还会有什么推广？ (i)∵∠EMF＝；∠BAC＝∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3∠1＝∠2；加上∠MGF＝∠MHE＝；MG＝MH；△MGF≌△MHE； ME＝MF；△MEF是顶角为的等腰三角形； △AFM∽△FDM∽△ADE；△AEM∽△BFM∽△ADF； ；；·· 以后我们遇上“对，并且这两个角的顶点的连线平分的角”。我们一定要“过没有角顶点作连线的垂线，补全图形再继续分析” 通过背景1和背景2结论的比较，我们发现这都是“互补的角相对，并且连线平分其中一个角”。是不是都有上述特点，还待我们在今后的学习中继续思考。 2007年上海市中考压轴题：如图，∠MAN＝，点B是射线AM上的一点，AB＝4，点P是直线AN上一动点，以BP为边，以顺时针方向作正△BPQ。 当点P在射线AN上时，求证：△BPQ的外心O一定在∠MAN的角平分线上； 当点P在射线AN上且点P不与A重合时，联结AO交BP于C，设AP＝x，，求y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围。 点D是射线AN上一点，AD＝2时，⊙I是△ABD的内切圆，当⊙I与BP或BQ相切时，求AO的值。 解：（i）证明：根据背景2的第一个结论的证明方法可知：∵∠BOP＝；∠BAP＝∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3∠1＝∠2；加上∠OGP＝∠OHB＝；OP＝OB△OGP≌△OHBOG＝OH△BPQ的外心O一定在∠MAN的角平分线上； (ii)根据背景2的第四条结论，知道：； （iii）当AD＝2时，先证明BD⊥AN， 如图3，这时⊙I与BP相切，点P与点D重合， ∠ABO＝AO＝ 如图4：这时⊙I与BP相切，点P与点A重合， 如图5：这时⊙I与BQ相切，点O与点A重合， AO＝0 其实，在今年黄浦区数学信息网上就有这道题，是由东格致学校选送的他们学校四月份的月考压轴题。 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝，将一个与△ABD同样大小的正三角形放在点B处旋转与AD、CD边交于G、P、H、Q各点。 （i）求证：△BGH为正三角形。 （ii）△DPQ的周长是定值吗？若是，求出这个定值是多少？若不是，请说出理由。 （iii）若AG＝x，CH＝y，求出y关于x的函数关系式，并求