4–1平面向量的概念向量线性运算.doc

第4模块 第1节 [知能演练] 一、选择题 1．判断下列各命题的真假： (1)向量的长度与向量的长度相等； (2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量； (5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为(　　) A．2　　　　　　　　　　　B．3 C．4 D．5 解析：(1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段． 答案：C 2．若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且＝a，＝b，则等于(　　) A．b＋a B．b－a C．a＋b D．a－b 解析：＝＋＝b＋(－a)＝b－a. 答案：B 3．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，若＝ r＋s，则r＋s的值是(　　) A. B．0 C. D．－3 解析：在△ABC中，＝＝(－)＝ －，故r＋s＝0. 答案：B 4．平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，点E在BC上，且＝2，设＝a，＝b，则为(　　) A.a＋b B.a＋b C.a－b D.a＋b 解析：如右图．由向量的运算法则得＝＋＝＋ ＝(a＋b)－b＝a＋b，故选B.答案：B 二、填空题 5．△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝________. 解析：依题意有＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×＋＝(b－a)＋(－a)＝－a＋b. 答案：－a＋b 6．(2009·湖南高考)如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设＝(1,0)，＝(0,1)，则||＝，∴||＝×sin60°＝. 由题意有＝(x，y)，∴x＝1＋cos45°＝1＋，y＝sin45°＝.故x＝1＋，y＝. 答案：1＋， 三、解答题 7．在△AOB中，C是AB边上的一点，且＝λ(λ0)，若＝a，＝b. (1)当λ＝1时，用a，b表示； (2)用a，b表示.解：(1)当λ＝1时，＝(＋)＝a＋b. (2)＝＋，＝－＝a－b， 因为＝λ，BC＝λCA，BA＝BC＋CA， BA＝(λ＋1)·CA，BC＝BA.所以＝， 即＝＋＝b＋(a－b)＝. 8．如下图，点O是梯形ABCD对角线的交点，|AD|＝4，|BC|＝6，|AB|＝2. 设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为b0.(1)用a0和b0表示，和； (2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动，且||＝2，求||的最大值和最小值． 解：(1)由题意知＝6a0，＝2b0，∴＝－＝6a0－2b0； ∵∥，∴＝4a0，则＝＋＝2b0－6a0＋4a0＝2b0－2a0； 过C点作CM∥BD，易知四边形BCMD是平行四边形． 则＝，即＝， 得＝b0－a0. (2)＝＋，2＝(＋)2＝·＋·＋2·，即||2＝||2＋||2＋2||·||·cos〈，〉＝62＋22＋2·6·2cos〈，〉＝40＋24cos〈，〉． ∵cos〈，〉∈[－1,1]， ∴当cos〈，〉＝1时，||max＝8. 当cos〈，〉＝－1时，||min＝4. [高考·模拟·预测] 1．(2009·北京高考)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb， ∴(k－1)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线， ∴k－λ＝0，且λ＋1＝0. ∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d. 故c与d反向，选D. 答案：D 2．(2009·上海十四校联考)已知非零向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC的形状是(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形 解析：由·＝0，得∠BAC的平分线垂直于BC. ∴AB＝AC.而＝cos〈，〉＝， 又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.故△ABC为正三角形，选D. 答案：D 3．(2009·天津高考)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________． 解析：由于＝＝(1,1)，则四边形ABCD是平行四边形且||＝，又由＋＝，得BC、CD(BA)与BD三者之间的边长之比为1∶1∶，那么可知∠DAB＝120°，所以AB