23–空间向量及其加减运算.docVIP

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教材分析 本章是学生在《必修2》中学习立体几何初步以及在《必修4》中学习了平面向量的基础上学习空间向量及其运算，并利用空间向量解决立体几何问题.而空间向量及其加减运算是这部分内容的基础知识，是后续学习的前提.由于空间向量是平面向量的推广，所以空间向量及其加减运算与平面向量及其加减运算类似，因此本节宜采用类比学习方法，让学生类比平面向量自主探究，归纳总结，从而培养学生的探究能力. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间向量的概念，几何表示法和字母表示法，以及加减运算. 教学目标 重点: 空间向量的加减运算及运算律. 难点：借助图形理解空间向量的加减运算及运算律意义． 知识点：空间向量的概念，几何表示法和字母表示法，以及加减运算. 能力点：培养自主探究，类比推理的能力，理解数形结合的思想. 教育点：用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 自主探究点：空间向量与平面向量的异同. 考试点：空间向量的运算. 易错易混点：空间任意两个向量都共面. 教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 启发式讲解，互动式讨论，研究式探索. 一、引入新课 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： 　　　（1）用有向线段表示； 　　 （2）用字母a、b等表示； 　　 （3）用有向线段的起点与终点字母：． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小不变的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下． ［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ［师］关于向量的加减运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法满足以下运算律 　　　　　加法交换律：a＋b＝b＋a 　　　　　加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或相等关系、空间向量的加法、减法以及这两种运算的运算率．请同学们阅读课本P84～P86． [设计意图]通过复习平面向量的知识，为本节课学习空间向量做好铺垫. 二、探究新知 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？什么是相等的向量？相等的向量又是怎样表示的呢？ ［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，方向相同且模相等的向量称为相等向量.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］零向量，单位向量，相反向量又是怎么规定的呢？ ［生］长度为0的向量叫做零向量，记为0．模为1的向量称为单位向量．与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量,记为- a． ［师］由以上知识可知，向量在空间是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示,因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法与平面向量的运算一样： =a+b（首尾相连） （共起点，方向指向被减向量） 　　［师］空间向量的加法有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证） [设计意图]一问一答，既调节了课堂气氛，又检验了学生自学成果. 三、理解新知 ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： ． ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立． [设计意图]为准确灵活地运用新知，作必要的铺垫. 四、运用新知 例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： 说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． 解： 说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法