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江西理工大学理学院 第四节 线性方程理论、二阶 常系数齐次线性方程 一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初 始速度v0 ≠ 0,物体便离开平衡位置,并在平衡位置 附近作上下振动.试确定物体的振动规律 x = x(t). 解 受力分析 1. 恢复力 f = ?cx; o x dx 2.阻力 R = ?μ ; dt x d 2 x dx F = ma, ∴m = ?cx ? μ , Q dt 2 dt d 2 x dx + 2n + k 2 x = 0 物体自由振动的微分方程 dt 2 dt 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, d 2 x dx + 2n β+ k 2 x = hsin pt 强迫振动的方程 dt 2 dt ω 2 d u du 2 E Lc c + 2 c + u = m sinωt dt 2 dt 0 c LC 串联电路的振荡方程 d 2 y dy + P(x) + Q(x) y = f (x) dx 2 dx 二阶线性微分方程 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) ≠ 0时，二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 (n) (n?1) y + P1 (x) y + L+ Pn?1 (x) y′ + Pn (x) y = f (x). 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0 (1) 定理 1 如果函数 y1 (x)与 y2 (x)是方程(1)的两个 解,那末y = C1 y1 + C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2是常 数） 问题: y = C1 y1 + C2 y2一定是通解吗？ 定义：设 为定义在区间 内的 个 y1 , y2 ,L, yn I n 函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当 x 在该区间内有恒等式成立 ， k1 y1 + k2 y2 + L+ kn yn = 0 那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则 称线性无关 例如 当x ∈ (?∞, + ∞)时， e x，e ? x , e 2 x 线性无关 1，cos2 x, sin2 x 线性相关 y (x) 特别地 : 若在 I 上有 1 ≠ 常数， y2 (x) 则函数y1 (x)与 y2 (x)在 I 上线性无关. 定理 2：如果 y1 (x)与 y2 (x)是方程(1)的两个线 性无关的特解, 那么 y = C1 y1 + C2 y2 就是方程(1 的通解. 例如 y′′ + y = 0, y1 = cos x, y2 = sin x, y2 且 = tan x ≠ 常数, y = C1 cos x + C2 sin x. y1 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程 y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通 解. 定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 数之和, 如 y′′ + P(x)y′ + Q(x)y = f1 (x) + f 2 (x) * * 而 y1 与 y2 分别是方程, y′′ + P(x)y′ + Q(x) y = f