129498393937968750D9.5曲线积分.pptVIP

若 ? 为空间曲线弧 , 记 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, 称为函数 在曲线L上对坐标 x 的曲线积分; 称为函数 在曲线L上对坐标 y 的曲线积分. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 则 说明： 此类积分不适宜直接使用奇偶对称性简化运算! 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 定积分是第二类曲线积分的特例. 2. 对坐标的曲线积分的计算法 定理 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 特别是, 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 ? : 类似有 例10 其中L 为 解法1 解法2 从点 的一段； 计算 取 x 为参数, 则 取 y 为参数, 则 (1)沿抛物线 (2)沿直线段AB． (1) 例11 其中L 为 解 从点 的一段； 计算 取 x 为参数, 则 (1)沿抛物线 (2)沿直线段AB． (2) 显然 此被积函数沿不同路径得到的曲线积分不同！ 例12 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解 (2) 取 L 的方程为 则 则 计算 (1) 取L的参数方程为 例13 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解 (2) 原式 (3) 原式 计算 (1) 原式 此被积函数沿不同路径得到的曲线积分相同！ 3. 对坐标的曲线积分的物理意义 1）空间中力沿曲线所做的功 设向量场 代表空间 某一区域上分部的力（重力或某种电磁力等）， 又 为该区域内一光滑曲线． 则该力沿曲线做功的微元 该力沿曲线做功 2）流量与环流量 设向量场 代表通过 某一区域流体的速度场， 为连续速度场定义域内的一光滑曲线． 则流体沿曲线通过 流体沿曲线的 的流量C的微元 流体沿有向闭合曲线的流量称为 环流量 流量 例14 作用下, 质点由 沿? 移动到 解 (2) ? 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. 其中? 为 设在力场 (1) 第九章 多元函数积分学及其应用 第五节 曲线积分 高等数学（下） 曲线积分 曲线弧 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 定积分二重积分三重积分 区 间 平面域 空间域 积分学 积分域 第五节 一、 对弧长的曲线积分 二、 对坐标的曲线积分 第九章 三、 两类曲线积分之间的联系 曲 线 积 分 1. 对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 引例 采用 曲线形构件的质量 一、对弧长的曲线积分 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 是定义在 ? 上的一个有界函数, 记作 若通过对 ? 的 和对局部的 定义 下列“乘积和式极限” 曲线形构件的质量 都存在, ? 上对弧长的曲线积分, 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 任意分割 任意取点, 如果 L 是闭曲线 , 则记为 思考 (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积 分为 则图示曲边梯形的面积元素 几何意义 得到曲边梯形的面积为 柱面上曲边梯形的面积 如图曲边梯形是以 为顶边，以L为底边的柱面 假设函数 在光滑弧段L上连续， 上的曲边梯形． 性质 （?, ? 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 例1 其中 L 是圆周 解法一 解法二 利用几何性质 被积函数在圆周上取值 计算 2．对弧长的曲线积分的计算法 基本思路 计算定积分 转 化 定理 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 说明 因此积分限必须满足 可运用奇偶对称性简化运算． 例如 (3) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: 则 例2 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解 上点 O (0,0) 计算 推广 则 设空间曲线弧的参数方程为 例3 其中?