2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题19正弦定理和余弦定理及解三角形理(含解析)新人教A版教程.docVIP

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形 理（含解析）新人教A版 【高频考点解读】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【热点题型】 题型一 　正、余弦定理的简单运用 【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a＝23，b＝6，A＝45°，则c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________． 【答案】　(1)3＋3　(2)2π3 【解析】　 (1)法一　在△ABC中，由正弦定理得sin B＝bsin Aa＝6)×\f(\r(223＝12，因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6)＋\r(2)4. 故c＝asin Csin A＝3)×\f(\r(6)＋\r(24\r(22＝3＋3. 【提分秘籍】 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 【举一反三】 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________． 【答案】　(1)A　(2)39)3 【解析】　 (1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－12ab，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝122ab＝－14＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形． 题型二 正、余弦定理的综合运用 【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cos A＝6)3，B＝A＋π2. (1)求b的值； (2)求△ABC的面积． 【解析】　(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cos2A ＝3)3， 因为B＝A＋π2， 所以sin B＝sin\a\vs4\al\co1(A＋\f(π2))＝cos A＝6)3. 由正弦定理，得b＝asin Bsin A＝\r(63\r(33＝32. (2)由B＝A＋π2，得cos B＝cos\a\vs4\al\co1(A＋\f(π2))＝－sin A＝－3)3. 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)． 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝3)3×\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)3))＋6)3×6)3＝13. 因此△ABC的面积S＝12absin C＝12×3×32×13 ＝2)2. 【提分秘籍】 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等． 【举一反三】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8. (1)若a＝2，b＝52，求cos C的值； (2)若sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值． 【解析】 所以sin A＋sin B＝3sin C. 由正弦定理可知a＋b＝3c. 又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6. 由于S＝12absin C＝92sin C，所以ab＝9， 从而a2－6a＋9＝0， 解得a＝3，b＝3. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)． 【解析】则有10t＝6，t＝6)10≈0.245小时＝14.7分钟． 故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船． 【提分秘籍】 解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集