2015秋高等数学期末样题4套教程.docx

样题1 掌握函数在一点有定义、连续、可导、可微之间的关系,例如 1．在处可导，是在处连续的（ ）条件. （A）必要非充分；（B）充分非必要； （C）充分必要； （D）无关条件. 掌握函数间断点的求法,并会判断类型, 例如 2．函数，则是的（ ） （A）连续点； （B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷间断点。 掌握广义积分敛散性的判别，例如 3．下列反常积分中收敛的是（ ） A．； B．； C．； D．. 会求简单曲线的拐点，例如 4．曲线的拐点是______． 会求直线方程和平面方程，例如 5．过点且与向量平行的直线方程是______．． 掌握变限函数的导数，例如 6．＝______．. 二、计算题 掌握极限运算，等价无穷小替换和罗必塔法则，例如 1．. 解：原式= 掌握两个重要极限，例如 2．. 解：原式= 熟练掌握基本求导公式（一阶导数，二阶导数） 3. 设，求. 解： 4. 设方程确定y是的函数，求. 解： 熟练掌握基本求导公式（一阶导数，二阶导数） 5. 设由参数方程所确定，求及． 解： 掌握不定积分的基本求法，例如 6．求． 解：原式= = 关于定积分如下典型例题要掌握 7.设连续，且，求，。 解： 掌握 ①可分离变量的， ②一阶线性方程， ③二阶常系数线性方程求解，例如 求微分方程的通解. 解： 9. 求微分方程的通解． 解： 会求直线方程和平面方程，例如 10．求过点且与向量 和都平行的平面方程． 解： 三、应用题 掌握平面图形的面积和旋转体的体积的计算，特别是圆、直线、简单的幂函数（例如）等曲线围成的图形,例如 1．设曲线和所围成的平面图形为D，求： （1）平面图形D的面积； （2）平面图形D绕x轴旋转一周生成的旋转体体积. 解： 2．在曲线段上求一点，使得由曲线在点的切线与直线所围成的三角形的面积最大. 解： 四、证明题 掌握微分中值定理证明问题，例如 已知函数在上连续,在内可微（可导）,且求证：在内至少存在一点,使得。 证明：提示令，则  样题2 1．在处可导，是在处可微的（ ）条件. （A）必要非充分；（B）充分非必要； （C）充分必要； （D）无关条件. 2．函数，则是的（ ） （A）连续点； （B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷间断点。 练习：函数，则是的（ ） （A）连续点； B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷间断点。 3．下列反常积分中收敛的是（ ） A．； B．； C．； D．. 4．曲线的拐点是______． 5．将坐标面上的曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程 　． 6曲线： 在平面上的投影的方程是 　． 二、计算题 1．. 解：原式= 2．. 解：原式= 3、设在处连续，，求. 解： 4 设由参数方程所确定，求． 解： 5、设，求. 解： 6．求． 解：原式= 7、设连续，且，求，。 解：提示 8．（1）求微分方程的通解. （2）求微分方程的满足的特解. 解： 9. (1)求微分方程的通解． (2)求微分方程的通解． (3)写出微分方程的特解形式（特解表达式）． 解： (3)由（1）知微分方程的特解形式 10．求过点且垂直于直线的平面方程． 解： 11．求过点且平行于直线的直线方程． 解： 三、应用题1．设曲线和在第一象限所围成的平面图形为D，求： （1）平面图形D的面积； （2）平面图形D绕x轴旋转一周生成的旋转体体积V. （3）写出曲线介于点（0,0）到点（1，1）的弧长计算公式。 解： （3）弧长公式为。 2．做一个上端开口的圆柱形容器，它的容积是，壁厚忽略不计，问容器底面半径为多少时，才能使所用材料最省？ 解： 四、证明题 已知函数在上连续,在内可微（可导）,求证：在内至少存在一点,使得 。 证明：提示令，则  样题3 1．在处可导，是在处连续的（ ）条件. （A）必要非充分；（B）充分非必要； （C）充分必要； （D）无关条件. 2．函数，则是的（ ） （A）连续点； （B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷间断点。 练习：函数，则是的（ ） （A）连续点； B）可去间断点； （C） 跳跃间断点； （D）无穷间断点。 3．下列反常积分中收敛的是（ ） A．； B．； C．； D．. 4．曲线的拐点是 ． 5．向量和，求 解： 6．＝