陕西省2016中考数学复习针对性训练：与圆切线性质有关的证明及计算二十(针对陕西中考第二十四题).docVIP

PAGE  与圆切线性质有关的证明及计算二十(针对陕西中考第24题) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2015·巴彦淖尔)如图，AB是⊙O的直径，点C是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH. (1)求证：AC＝CD； (2)若OC＝eq \r(5)，求BH的长． 解：(1)连接OC，∵C是eq \o(AB,\s\up8(︵))的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD　(2)∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEO＝∠FEB，,OE＝BE，,∠COE＝∠FBE，))∴△COE≌△FBE(ASA)，∴BF＝CO，∵OB＝eq \r(5)，∴BF＝eq \r(5)，∴AF＝eq \r(AB2＋BF2)＝5，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴eq \f(AB,BH)＝eq \f(AF,BF)，∴BH＝eq \f(AB·BF,AF)＝eq \f(2\r(5)×\r(5),5)＝2 2．(2015·巴中)如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC. (1)求证：直线CD为⊙O的切线； (2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长． 解：(1)连接OC，∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC，又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF，∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B，∵∠B＋∠BOF＝90°，∴∠OCF＋∠DCB＝90°，∴直线CD为⊙O的切线 (2)连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB，又∵∠D＝∠B，∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴eq \f(CO,AC)＝eq \f(CD,BC)，即eq \f(2.5,3)＝eq \f(CD,4)，解得：DC＝eq \f(10,3) 3．(2015·乌鲁木齐)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝eq \f(1,2)，AB＝3，求BD的长． 解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE　(2)设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB＝eq \f(1,2)，∴ED＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)(3＋x)，由(1)知，DC＝eq \f(1,2)(3＋x)，在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋[eq \f(1,2)(3＋x)]2＝(1.5＋x)2，解得：x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1 4．(2015·遂宁)如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N. (1)求证：∠ADC＝∠ABD； (2)求证：AD2＝AM·AB； (3)若AM＝eq \f(18,5)，sin∠ABD＝eq \f(3,5)，求线段BN的长． 解： (1)连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD　(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴eq \f(AM,AD)＝eq \f(AD,AB)，∴AD2＝AM·AB　(3)∵sin∠ABD＝eq \f(3,5)，∴sin∠1＝eq \f(3,5)，∵AM＝eq \f(18,5)，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝eq \f(3,5)，∴DN＝eq \f(24,5)??∴BN＝eq \r(BD2－DN2)＝eq \f(32,5)