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微积分(上)复习资料——概念 复习步骤—— 1.概念2.公式3.解题格式4.题型 知识网络—— 1.函数2.极限3.导数4.导数应用5.微分6.微分中值定理 7.洛必达法则8.不定积分 1.函数 1.1邻域 设有实数a及b，b0。{xIIx-aI}b，为点a的b邻域，记为U（a，b）。 若去掉点a，{xI0Ix-aIb}为a的去心邻域。 a-b a a+b 1.2显函数和隐函数 明确因变量和自变量，可用y=f(x)表示的函数称为显函数。反之不明确因变量和自变量，不可用y=f(x)表示，即只是表示x于y关系的函数隐函数。 Tip: -1,x1 符号函数y=sgnx= 0,x=1 1,x0 取整函数y=[x] 1.3有界性 设f(x)在实数集D上有定义。若存在正数M，是对D中的任意x都有If(x)I≤M，则称f(x)在D上有界，f(x)是D上的有界函数，M称为f(x)在D上的一个界。若不存在满足上述条件的M，则无界。 2.极限 2.1数列极限 设数列{an}，常数a。若当n→∞，an→常数a，则称该数列收敛于a或收敛数列，a称为极限。记作limn→∞an=a或an→a,( n→∞) 若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列 2.2收敛数列性质 性质1(唯一性)：收敛数列只有一个极限 性质2(有界性)：有界是收敛数列的必要条件 性质3(保号性)：若数列极限为正(或负），则该数列从某一项开始的所有项也为正(或负）。 性质4:若数列收敛于a，则它的子数列也收敛于a。数列的任意一段数列称为子数列 2.3函数极限 设f(x)为区间D上的函数，A为任意值。若当x→x0，f(x)→A，则称x0是f(x)的极限，记作limx→x0fx=A或f(x)→A (x→x0) 定理1 limn→∞f(x)=A的充要条件是limn→+∞f(x)=limn→—-∞f(x)=A 定理2 limn→x0f(x)=A的充要条件是limn→x0+f(x)=limn→—x0-f(x)=A 总结：极限存在的充要条件是左右极限存在且相等 2.4函数极限性质 性质1(唯一性)：若limx→x0fx存在，则极限是唯一的 性质2(局部有界性)：若limx→x0fx存在，则f(x)在x0的某去心邻域 有界 性质3(局部保号性)：若limx→x0fx=A0(或0)，则存在正数b， 当0Ix-x0Ib时，有fx0(或0) 推论1若limx→x0fx=A0(或0)，则存在正数b，当0Ix-x0Ib时，有fxA2 (或A2) 推论2若在x0的某去心邻域内fx≥0(或≤0)，且limx→x0fx=A≥0(或≤0) 2.5极限存在准则——两个重要极限 定理1(夹逼准则) 设数列{an}，{bn}，{cn}满足 (1)limn→∞an=limn→∞bn=a (2)存在正整数N0，当nN0时,an≤bn≤cn,则数列{cn}收敛，且limn→∞cn=a 设函数f(x)，g(x)，h(x) (1)limx→x0fx=limx→x0gx=A (2)在x0的某个邻域内，有f(x)≤h(x)≤g(x)，则limx→x0hx=A 定理2(单调有界准则)单调有界数列必有极限。 2.6无穷小与无穷大 无穷小定义： 若limx→x0fx=0，则称fx为当x→x0时的无穷小。 无穷小性质： (1)若fx，gx为无穷小，则fx?gx，αfx±βgx为无穷小。 (2)若fx为无穷小，gx为有界函数，则fx?gx 仍为无穷小。 (3) limx→x0fx=A?fx-A是一个当x→x0时的无穷小。 无穷大定义： 若limx→x0fx=∞，则称fx为当x→x0时的无穷大。 定理1：在自变量x的同一变化过程中，若fx为无穷大，则1fx为无穷小；反之若fx为无穷小，且fx≠0，则为无穷大。 2.7无穷小的比较 设f及g是在自变量x的同一变化过程中的无穷小，且g≠0。 (1)若limfg=0，则f是比g高阶的无穷小，或g是比f低阶的无穷大，记作f=og； (2)若limfg=l≠0，则f与g是同阶无穷小，记作f=Og。 特别地，若limfg=1，则f与g是等阶无穷小，记作f~g。 定理2：设f~f1，g~g1，且limfg存在，则limfg=limf1g1 2.8函数连续性 定义1 设fx在x0的某个邻域内有定义，若limx→x0fx=fx0，则称fx在x0连续，并称x0为fx的连续点。 定义2 设fx在x0的某个邻域内有定义，若lim?x→0?y=0，则称y=fx在x0连续。 定义3 若定义1中的x→x0具体化为x→x0-或x→x0+，支持则称fx在x0左连续或右连续。 定理1 fx在x0